Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера



Pdf көрінісі
Дата15.10.2018
өлшемі122.79 Kb.

Золотые

 

пирамиды

 

и золотой конус

 

Кеплера

 

С.Л. Василенко 

Контакт с автором: 



texvater@rambler.ru

 

────────────────────────────────────────────────



 

Представлен  анализ  работы  В. Соловьева,  посвященной  теории  и  практике  применения 

золотой 

константы. 

Выполнена 

уточняющая 

реконструкция 

модели. 


Даны 

терминологические  поправки  и  уточнения.  Введены  новые  понятия  в  геометрии:  золотые 

пирамиды  и  золотой  конуса  Кеплера.  В  их  осевом  сечении  наличествует  известный 

треугольник  Кеплера,  имеющий  ряд  уникальных  свойств,  обусловленных  золотой 

пропорцией. Описаны особенности рассматриваемых геометрических объектов. 

────────────────────────────────────────────────

 

Устойчивость пирамиды редко зависит от вершины

но всегда именно вершина привлекает наше внимание. 

Иосиф Бродский 

 

О

Г Л А В Л Е Н И Е

 

Введение ...................................................................................................................... 1 

Некоторые положения ............................................................................................ 2 

Реконструкция модели ........................................................................................... 2 

Терминологические уточнения и предпочтения ........................................... 3 

Выбор метрических величин ............................................................................... 4 

Параметры золотой пирамиды Кеплера .......................................................... 5 

Золотой конус ............................................................................................................ 6 

Об одном свойстве треугольника Кеплера ..................................................... 6 

Практический след ................................................................................................... 7 

Литература ................................................................................................................... 8 

 

Введение



 

С удовлетворением ознакомились с основным результатом статьи В. Соловьева [1]. 

Пусть  не  совсем  строго  в  рассуждениях  и  представлении  материала,  но  автор,  в 

конечном  итоге,  вышел  на  хороший  пример  проявления  константы  золотого  сечения  (ЗС) 

при минимизации величины апофемы в правильной пирамиде с вписанной в неѐ сферой. 

Сначала думали ограничиться небольшой ремаркой в части дополнений-уточнений. 

Но структурное изложение в таком формате оказалось не репрезентативным. 

В работе одновременно переплелись разные вопросы, в том числе принципиальные. 

Заявленная  автором  практическая  часть,  равно  как  и  физическая  трактовка,  на  наш 

взгляд, также имеют изъяны. 

Во всяком случае, они нуждаются в повторном переосмыслении. 

Дополнительно  отметим,  что  для  четырехугольной  пирамиды  похожий  результат  на 

поиск  экстремума  получен  в  работе  проф.  А. Шелаева  [2,  с. 4]  в  параметрах  минимальной 

длины образующей конуса, вписанного в египетскую пирамиду Хеопса, при фиксированном 

радиусе шара, вписанного в эту же пирамиду. 


ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Некоторые положения

 

Чтобы легче ориентироваться в задаче на вписанный в пирамиду шар, полезно вкратце 

вспомнить несложную теоретическую подоснову, например, по материалам [3]. 

Вписанный в пирамиду шар (сфера) касается всех еѐ граней. 

Иначе говоря, грани пирамиды лежат в касательных плоскостях шара. 

Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикулярны к касательным 

плоскостям. Их длины равны радиусу шара. 

Центр  вписанного  в  пирамиду  шара  –  точка  пересечения  биссекторных  плоскостей 

двугранных углов при основании. То есть плоскостей, делящих эти углы пополам. 

Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. 

Его центр в этом случае лежит на высоте пирамиды. 

При  решении  задачи  удобно  провести  осевое  сечение  пирамиды  и  вписанной  сферы 

плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. 

В  правильной  2k-угольной  пирамиде,  с  четным  числом  ребер  в  основании,  сечение 

представляет  собой  равнобедренный  треугольник.  Его  боковые  стороны  –  апофемы, 

основание – диаметр окружности, вписанной в основание пирамиды. 

В  правильной  (2+ 1)-угольной  пирамиде,  с  нечетным  числом  ребер  в  основании, 

сечением становится разносторонний треугольник. 

Поэтому  в  общем  виде  правильной  n-угольной  пирамиды  достаточно  рассмотреть 

только  часть  сечения,  а  именно  прямоугольный  треугольник  (рис. 1),  катеты  которого  – 

высота пирамиды h и радиус окружности r, вписанной в основание пирамиды, гипотенуза – 

апофема AR – радиус шара (сферы), вписанного в пирамиду. 

 

Реконструкция модели

 

Сначала несколько слов о логике и ходе рассуждений автора работы [1]. 

Формулировка, что берется шар "произвольного радиуса", не точна. 

В  евклидовой  геометрии  не  рассматриваются  бесконечно  малые  или  бесконечно 

большие тела. 

Фиксация  конечности  тоже  не  обязательна.  И  так  понятно,  если  оное  не  оговорено 

специально. 

В  правильной  пирамиде  боковые  грани  наклонены  к  плоскости  основания  под  одним 

(одинаковым) углом, отсюда лучше использовать единственное число. 

Доказательство  автор  ограничивает  рассмотрением  только  сечения  2k-угольной 

пирамиды, и затем непонятно для чего проводит наклонные плоскости. 

Рис. 1. Часть сечения правильной многоугольной пирамиды 



R

r

h

A


ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Далее ставит задачу  «найти такой  угол наклона, при котором отрезок  <апофема> был 

бы  минимальным  для  заданного  шара  радиуса».  Хотя  из  предшествующего  текста  ещѐ  не 

видно, что такой минимум существует. 

Конечно, можно рассматривать и такую задачу.  Но тогда еѐ не нужно "монтировать в 

тело" доказательства. 

Выполним некоторую реконструкцию модели, с учетом обозначений: 



2



1

5

,







Утверждение.  Длина  апофемы  правильной  пирамиды,  описанной  вокруг  шара, 

минимальна, если угол наклона боковых граней равен 

o

83



,

51

arctg



arccos





Рассмотрим  часть  осевого  сечения,  проходящего  через 



апофему правильной n-угольной пирамиды (см. рис. 1). 

Из свойств прямоугольных треугольников следует, что 

длина  апофемы  A  является  непрерывной  нелинейной 

функцией от угла наклона α боковых граней (рис. 2): 

 

2

tg



cos

cos








R

r

A

Приравняв  нулю  первую  производную  и  выполнив 



тригонометрические  преобразования,  получаем  квадратное 

уравнение 

0

1

sec



sec

2





  относительно  секанса  угла  – 

величины, обратной косинусу этого угла 



cos


1

sec


Положительным корнем-решением уравнения является искомое утверждение. 

Собственно и всѐ. 

Вторую производную для уточнения характера экстремума можно не анализировать,  – 

из графика и так виден минимум. 

Можно, конечно, обойтись и без графика. Тогда вторая производная необходима. 

Другой  вариант  постановки  исходной  задачи  состоит  в  рассмотрении  шара  и 

прислоненной к нему под углом α плоскости. 

Решение  получается  аналогично,  и  затем  при  желании  переводится  в  понятийную 

область «шара, вписанного в правильную пирамиду». 



Терминологические уточнения

 

и предпочтения

 

1) Автор [1] называет треугольник (см. рис. 1) золотым. 

Для  точности  лучше  добавить  «золотой  <прямоугольный> 

треугольник Кеплера». 

Золотым 

треугольником 

чаще 

называют 



равнобедренный 

треугольник,  у  которого  отношение  длин  боковой  стороны  и  основания 

равняется Ф, с углами 



o

o

o



36

,

72



,

72



Такими фигурами являются концы правильной пятиугольной звезды 

с  их  известной  инфляцией  (склеиванием)  и  дефляцией  (разрезанием)  во 

взаимосвязи с другим треугольником 



o

o

o



36

,

36



,

108


 [4]. 

2) Термин "золотой конус" вполне приемлем. 

Впервые он предложен в нашей работе [5, с. 14]. 

Фигура приобретает новое содержание и замечательные свойства (см. ниже). 

Рис. 2. Зависимость апофемы 

правильной пирамиды от угла 

наклона боковых граней 



A



ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Поскольку  половина  осевого  сечения  такого  конуса  является  прямоугольным 

треугольником  Кеплера,  то  вполне  подойдет  также  уточняющее  название:  "золотой  конус 

Кеплера". 

3)  Термин  "угол  золотого  сечения"  следует  признать  неудачным  ввиду  его 

непонятности и неопределенности. 

Само  по  себе  золотое  сечение  практически  не  связано  с  углами.  Кроме  того,  можно 

привести десятки разных вариантов-зависимостей углов от константы Ф. 

Поэтому  в  рассматриваемом  случае  правильнее  вести  речь  о  конкретном  численном 

соотношении 



arccos


Отсюда меняется и стилистика в представлении результатов исследования [1]. 

На теорему в геометрии постулируемое положение явно не дотягивает. 

В математике теоремами обычно называют доказанные утверждения, которые находят 



широкое применение в решении математических задач. 

Например, теорема Пифагора. 

В  данном  случае  больше  подходят  такие  формы  представления,  как  суждение, 

предложение, утверждение и т.п. 

Достаточно  посмотреть  на  работы  проф.  д.ф.-м.н.  А. Шелаева,  в  которых  приведены 

разнообразные задачи на отыскание экстремумов функций, связанных с константой ЗС. 

Без  теорем,  лемм  и  подобных  терминов.  Обычным  перечислением  выявленных 

замечательных свойств. Ибо математик прекрасно знает цену-статус теорем. 

4) Автор используется понятие «пропорции золотой пирамиды». 

Конечно, они существуют. 

Только  в  своей  таблице  он  приводит  не  пропорции  (как  заявлено),  а  обычные 

отношения двух величин одинаковой размерности. 

Что далеко не одно и то же. 

Выбор метрических величин

 

В общем случае назначение конкретных метрических значений для параметров фигур и 

тел может варьироваться. Чаще на усмотрение исследователя. 

Так, в работе [1] привязка  выполнена по отношению к  радиусу  вписанной сферы, что 

негативно влияет на качестве визуализации формул. 

В  статье  [2]  единичной  метрикой  выбран  радиус  вписанной  в  основание  пирамиды 

окружности  = 1.  Что  уже  лучше,  поскольку  легко  привязывается  к  числовой  оси  или 

координатной оси абсцисс. 

В  предельном  выражении  n-угольная  золотая  пирамида  Кеплера  становится  конусом 





n

,  поэтому,  на  наш  взгляд,  демонстрацию  свойств  удобнее  соотнести  с 

характеристиками прямого кругового конуса, положив его высоту равной единице h = 1: 







,



1

,

,



,

A

l

h

r

Тогда объем конуса равен 







3

1



3

1

2



h

r

V

Площадь боковой поверхности 







rl

S

б



Площадь основания 





2



о

r

S

Площадь полной поверхности 









rl



r

S

2

п





ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Таким образом, площади золотого конуса Кеплера образуют золотую пропорцию 



б

о



о

п

S



S

S

S

При этом для единичной высоты площадь боковой поверхности численно равна π! 



Обратная  задача  соотнесения  площадей  конуса  через  золотую  пропорцию  также 

приводит к золотому конусу Кеплера  







r

l

l

l

r

Радиусы вписанной и описанной сфер соответственно равны 



2

,

2





Параметры золотой пирамиды Кеплера

 

Приняв  в  качестве  единицы  измерения  высоту  пирамиды  можно  определить 

характерные параметры n-угольной золотой пирамиды Кеплера. 

Часть из них представлена в табл. 1. 

Таблица 1 

Некоторые параметры n-угольной 

золотой пирамиды Кеплера c единичной высотой 

 

Примечание



n



tg

t



При  неограниченном  возрастании  числа  боковых  граней  n  пирамида  превращается  в 

прямой круговой конус. 

Наименование 

параметра 

Расчетная формула для 

численных значений  

Высота, h 

Радиус окружности, вписанной в основание, r 



 

Апофема, A 



 

Ребро основания, a 



t

2



 

Боковое ребро, l 

2

t



 



Радиус вписанного шара, R 

2



 

Радиус описанного шара, R′ 

2

2

l



 

Площадь боковой грани, S 

t  

Площадь боковой поверхности, 



б

S

 

t



n

 

Площадь основания, 



о

S

 

t



n

 



Площадь полной поверхности, 

п

S

 

t

n



 

Объем пирамиды 



t

3

1



n

 



Угол наклона боковой грани, α 

arccos



 

Угол наклона бокового ребра, γ 

1

arcsin




l

 


ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Возникающая в формулах неопределенность вида "∞·0" разрешается через предел 





n

n

n

tg

lim



Апофема  золотой  пирамиды  дает  нам  минимальное  расстояние,  чтобы  по  наклонной 

плоскости-грани, касающейся вписанного шара, добраться до еѐ вершины. 

Своего рода противопоставление фразеологизму «скатиться по наклонной плоскости». 

Четырехугольная  золотая  пирамида  Кеплера  с  хорошей  точностью  воссоздает 

геометрию знаменитой египетской пирамиды Хеопса. 



Золотой конус

 

Вырежем  из  круга  радиусом 

  золотой  угол  [6]  –  меньший  из  двух  центральных 



углов,  образованных  делением  длины  окружности  согласно  золотой  пропорции:  длина 

окружности относится к длине еѐ большей части, как она – к меньшей. 

Из большей части с длиной дуги 



2

 свернем "золотой 

конус" [5]. 

Радиус исходного круга становится образующей конуса l

Радиус основания конуса равен 



В  осевом  сечении  конуса  имеем  равнобедренный 

треугольник,  состоящий  из  двух  золотых  треугольников 

Кеплера 





,



1

,

,



,

l

h

r

Угол  раствора  образованного  конуса  (между  двумя 



противоположными образующими) равен 

o

35



,

76

arccos



2





Телесный угол при вершине прямого кругового конуса определяется формулой 



o



0

,

77



1

2

2



cos

1

2









В этих формулах величина 



 – обычное число, без метрики. 

Что в целом примечательно? – Помимо разнообразных неординарных свойств золотого 

треугольника Кеплера и/или описанной выше особенности образующей конуса. 

Вследствие трансцендентного характера длины окружности, обусловленного наличием 

числа  π,  золотой  угол  [6]  нельзя  вычертить  обычными  геометрическими  построениями 

с помощью циркуля и линейки. 

В то же время, как видим, наличествует связь, пусть и опосредованная, между золотым 

углом и параметрами золотого конуса и золотого треугольника Кеплера. 

Об одном свойстве треугольника Кеплера

 

Примечательно,  что  в  треугольнике  Кеплера  три  линии  (медиана,  биссектриса  и 

высота), проведенные через вершину прямого угла, делят гипотенузу на два отрезка в таких 

отношениях (рис. 3): 

 

медиана  m 



– 

1; 


 

биссектриса  



– 

272


,

1





 

высота  

– 

618


,

1



1





h



r



l



ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Эти отношения де-факто повторяют взаимосвязь сторон данного треугольника [7, 8] 

 



272


,

1

1



:

:

:



:

1







 

Треугольник  Кеплера  прекрасно  демонстрирует  связь  золотого  сечения  с  членением 

целого надвое. 

Имеем  обусловленную  закономерность  перехода  от  деления  стороны  пополам 

(медиана)  к  делению  угла  пополам  (биссектриса)  и  далее  к  перпендикуляру  (высота)  с 

формированием золотого сечения на гипотенузе. 



Практический след

 

В заключение статьи [1] отмечается: 

«Таким  образом,  золотое  сечение  проявляет  важное  практическое  свойство: 

минимизация  расстояния  при  перемещении  вдоль  него  грузов  неизбежно  приводит  к 

экономии  затрат  времени  и  силы,  а,  следовательно,  и  работы.  При  этом  если  речь  идет  о 

перемещениях по наклонной плоскости или прямой, опирающейся на шар, то плоскость или 

прямую следует наклонить под углом золотого сечения» (курсив наш – С.Л.)». 

Сначала уточним детали… 

Про "угол золотого сечения" мы уже говорили. Такого угла нет. 

Понятие "вдоль" или "поперек" золотого сечения также не считается правильным. 

Хотя сама мысль автора в целом понятна. 

Что касается экономии работы, то вопрос неоднозначный. 

Затраченная энергия на подъем груза массой m главным образом определяется высотой 

h  и  соответствующим  изменением  потенциальной  энергии  mgh.  Особенно  при 

незначительном коэффициенте трения скольжения. 

При этом большой наклон плоскости с углом 

o

52



arccos



, не является удобным. 



Например, чтобы катить тележку. 

Однако в условиях преодоления больших трений геометрия золотых пирамид Кеплера 

может оказаться весьма полезной. 

Возможно,  именно  этот  момент,  вкупе  с  другими  замечательными  математическими 

свойствами  четырехугольной  золотой  пирамиды  Кеплера,  сыграл  определенную  роль  при 

выборе пропорций некоторых египетских пирамид. 

Или  как  вариант,  –  дает  наикратчайший  путь  к  вершине  социальной  пирамиды. 

Остается наклонить лестницу под правильным углом. 

Рис. 3. Отношение частей гипотенузы в треугольнике Кеплера 

для высоты  h,  биссектрисы  b  и медианы  m 

с последующим делением прямого угла пополам 









2

1



,

1

1



,

,

,



2

m

b

h











,

,

1



1

,

1



,

1

h



h

b

b

m

m



m

b

h

1


ВаСиЛенко 

Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера 

АТ

 



Несмотря  на  некоторые  моменты  сбивчивости  при  изложении  статьи  [1],  выражаем 

наше  одобрение  В. Соловьеву  за  новаторские  подходы  с  пожеланием  продолжить 

исследования в области изучения и применения золотой пропорции. 

Omnis qui quaerit invenit… 



Литература:

 

1.

 



Соловьев В.Г. Теорема о золотом сечении. Практический смысл // АТ. – М.: Эл. № 

77-6567, публ.22481, 07.09.2016. – 

URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321312.htm

2.



 

Шелаев А.Н.  К  установлению  причин  различия  геометрических  и  физических 

параметров  великих  пирамид  // АТ.  –  М.:  Эл.  №  77-6567,  публ.21962,  07.04.2016.  – 

URL: 


trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00162922.htm

3.



 

Узнать ещѐ / Комбинации геометрических тел / Шар, вписанный в пирамиду. – 

URL: 

uznateshe.ru/shar-vpisannyiy-v-piramidu/



4.

 



Василенко С.Л.  Золотоносные  треугольники  на  евклидовой  плоскости  //  Научно-

техн. б-ка SciTecLibrary. – 15.10.2012.

 – 

sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12293.html



5.

 



Василенко С.Л.  Золотые  купола  в  задаче  конусной  упаковки  евклидового 

пространства // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе 

и  искусстве.  –  17.07.2011.  – 

URL:  artmatlab.ru/articles.php?id=31&sm=2

  //  Научно-техническая  б-ка 

SciTecLibrary. – 17.07.2011. – 

URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11225.html

6.



 

Golden 


angle 

// 


Wikipedia, 

the 


free 

encyclopedia. 

– 

URL: 


http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_angle

7.



 

Василенко С.Л.  Перекрестные  отношения  и  гармоничность  в  структурировании 

объектов  //  АТ.  –  М.:  Эл.  №  77-6567,  публ. 22151,  03.06.2016.  – 

URL: 


trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00162966.htm

8.



 

Василенко С.Л.  Треугольник  Кеплера  как  объединитель  теоремы  Пифагора, 

золотого сечения и современных мифов // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22385, 05.08.2016. – 

URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163016.htm

© ВаСиЛенко, д.т.н., 2016 



 

Харьков, Украина 



 

Авторские страницы: 

http://www

.artmatlab.ru/authors.php?id=21&sm=3 

http://www

.trinitas.ru/rus/doc/avtr/01/0738-00.htm 

http://www

.sciteclibrary.ru/rus/avtors/v.html

 



Достарыңызбен бөлісу:


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет