Узагальнена теорема Фалеса. Означення подібних трикутників. Розвязування задач

розвивати логічне мислення, пізнавальний інтерес;

виховувати зацікавленість до предмета геометрії, вміння використовувати власний досвід;товариськість, наполегливість, культуру спілкування.

Тип уроку: Застосування знань, умінь та навичок

Обладнання: конспект, комп’ютер, індивідуальні картки, ілюстрації до задач

Хід уроку

I. Організація класу.

Доброго дня! Я вас вітаю на уроці геометрії. Ми з вами вивчаємо одну з найцікавіших тем геометрії «Узагальнена теорема Фалеса. Означення подібних трикутників.» Чому найцікавіших? Тому що знання узагальненої теореми Фалеса та означення подібності трикутників і їх властивостей допомагає в найнесподіваніші моменти.

Етапи уроку


II. Перевірка домашнього завдання

Давайте перевіримо, як ви орієнтуєтесь у вивченій темі.

1. 
   Консультанти звітують про виконання домашнього завдання.
   

- Що називається відношенням відрізків завдовжки a і b?

- Сформулюйте теорему про пропорційні відрізки.

- Дайте означення подібних трикутників.

- Сформулюйте теорему Фалеса.

- Що означає, що трикутники подібні?

- Що називається коефіцієнтом подібності?

- Якій величині дорівнює відношення висот, бісектрис та медіан подібних трикутників?

Усні вправи.

1. 
   ∆ МНР∆ КВА. Що звідси випливає?
   
2. 
   Чи можна стверджувати, що довільні два рівносторонні трикутники подібні?
   

E

4

F

A

N

х

5

Паралельні прямі m і n перетинають сторони кута АВС. Знайдіть довжину відрізка MN.

N

2

C

A

b

c

D

4

B

M

Паралельні прямі а,в і с перетинають сторони кута МNP. Знайдіть довжини відрізків СД і МВ, якщо АN=2, NC=3, DP=9, AB=4.

Записати та обчислити утворені відношення

Історія розповідає про те, як мандруючи Єгиптом, Фалес був вражений величчю піраміди Хеопса.

Скажіть, будь ласка, а яку висоту вона має?- запитав він жерців.

О, це дано знати хіба що Богу Сонця Ра, а не людині, відповіли жерці.

- Зачекайте хвилиночку, зараз я точно підрахую висоту піраміди! – запевнив їх Фалес.

Він вийшов від проміння Сонця і виміряв довжину своєї тіні. Скажімо, тінь була вдвічі довшою за зріст Фалеса. З цього Фалес зробив висновок, що в цю мить предмети мають тінь удвічі більшу за них самих. Тож залишається обчислити довжину тіні піраміди Хеопса.

Якщо ви вважаєте, що жерці були в захваті від розуму та винахідливості Фалеса, то ви помиляєтесь. Навпаки, вони дуже обурилися. Те що, на їхню думку, людині не дано пізнати якийсь там грек з Мілета обчислив майже миттєво!.. Ні, таке не пробачають! І жерці вирішили вбити Фалеса. На щастя, один з них виявився порядною людиною і підказав Фалесу скоріше сідати на корабель, який ось-ось відпливає до Єгипту…

Отже, сьогодні на уроці ви доповните свої знання біографічними даними із життя Фалеса Мілетського, а також закріпите свої знання про зміст узагальненої теореми Фалеса, означення та властивості подібних трикутників, вдосконалюватимете вміння застосовувати вивчені твердження під час розв’язування практичних задач.

Поняття відношення і пропорції виникло ще в далекій давнині. Про це насамперед свідчать будівлі стародавнього світу, які вражають пропорціональністю своїх форм. Зокрема, з принципом подібності були обізнані стародавні вавилоняни. У цьому переконує планування будівель, які збереглись до наших часів. Для позначення відношення існував навіть спеціальний знак.

У VI ст. до н.е. на о. Самосі (в Егейському морі) було збудовано тунель завдовжки 1 км у товщі гори Кастро і канал для підведення води в столицю острова – м. Самос. Збудований тунель – одна з найдивовижніших стародавніх споруд. При проектуванні і будуванні тунелю було розв’язано задачу точного прокладання підземної траси, яка й тепер вважається досить складною.

Є припущення, що в процесі будівництва було застосовано теорію подібності трикутників.

Рівні фігури можна уявити як фігури, що мають однакову форму й однакові розміри. Але в повсякденному житті часто зустрічаються речі, які мають однакову форму, але різні розміри. У геометрії такі фігури називають подібними.

Слово пропорціональний, що походить від латинського proportional’s, означає “такий, що має правильне співвідношення між частинами і цілим ”, “такий, що перебуває в певному відношенні до деякої величини ”. Фігури, які мають однакову форму, але різну величину, зустрічаються у вавилонських і єгипетських пам’ятках.

Ще вавилонські вчені знали, що паралельні лінії, перетинаючи будь-які прямі, поділяють їх на пропорційні відрізки. Дехто приписує це відкриття старогрецькому вченому Фалесу Мілетському.

Можливо, що теорема приписана Фалесу опосередковано, так як відомо, що він умів вимірювати висоту обеліска і відстань до корабля в морі; при цих вимірах можна використовувати подібність трикутників, а ствердження про пропорціональність сторін подібних трикутників доводиться на основі “теореми Фалеса ”

Теорема Фалеса до цих пір використовується в морській навігації в якості правила про те, що зіткнення суден, які рухаються з постійною швидкістю не уникнути, якщо зберігається напрям руху суден один на одного.

Поза російськомовною літературою теоремою Фалеса інколи називають другу теорему планіметрії, а саме, твердження про те, що вписаний кут, який опирається на діаметр кола, являється прямим. Відкриття цієї теореми дійсно приписується Фалесу, про що є свідчення Прокла.

Основи геометрії Фалес досягав в Єгипті.

Учення про подібність фігур виникло в стародавній Греції в V-IV ст. до н.е. Його викладено в VI книзі «Начала» Евкліда. Теорія подібності ґрунтується на аксіомі паралельності.

Поняття подібності лежить в основі складання географічних карт, планів, креслення рисунків. На цьому понятті ґрунтується і мензульне знімання місцевості.

Принципом подібності користувались ще художники і скульптори стародавнього Єгипту, коли їм треба було перевести рисунок на інше місце або збільшити його. У гробниці батька єгипетського фараона Рамзеса ІІ (ХІІІ ст. до н.е.) є стіна, вкрита сіткою квадратиків. За допомогою цієї сітки на стінку було перенесено в збільшеному вигляді рисунки менших розмірів.

1. Володіючи поняттям подібності трикутників, та знаючи узагальнену теорему Фалеса, можна визначати висоти предметів за їх тінню, знаходити висоту башти за її фотографією. Таким чином астрономи визначали висоти місцевих гір.

А чи зможемо й ми скористатися знаннями з геометрії за необхідності? Давайте спробуємо.

Задача №1

Як фотографічна картка Ейфелевої вежі (див.рис.) допоможе визначити її висоту?

Розв’яжіть задачу, якщо основа вежі 125м.

Відповідь.

Треба виміряти довжину сторони основи і висоту самої вежі на фотографії, а потім довжину сторони основи самої вежі. Враховуючи, що фотографія дає зображення, подібне до натури, висота вежі буде в стільки разів більша від її висоти на фотографії, у скільки разів сторона основи вежі більша від її зображення на фотографії.

Справжня висота вежі дорівнює 300м, не враховуючи висоту антени, а з нею 322м.

2. 
   Робота з підручником
   

А С D F

За даними рисунка знайти х, якщо прямі a i b паралельні:

За даними рисунка знайти х, якщо прямі a i b паралельні:

O

25 см

A

1 мм

x

B₁

Які завбільшки повинні бути букви на класній дошці, щоб учні, сидячи за партами, бачили їх так само виразно, як букви в своїх книжках (на відстані 25см від ока)? Відстань від парт до дошки взяти 5м. ширина букви в книжці дорівнює 1мм.

Розв’язання.

Беручи за величину букви на класній дошці А₁В₁=х, з подібності трикутників ОВА і ОВ₁А₁, матимемо:

Х=2,1(см)

Відповідь: 2,1см

VII. Підсумки уроку.

1. 
   Підбиття підсумків роботи (самооцінка)
   

А) Чи зміг ти висунути свою пропозицію?

Так. Не зовсім. Ні.

Б) Чи все обговорив?

Так. Не зовсім. Ні.

В) Чи виконав задачу до кінця?

Так. Не зовсім. Ні.

2. Підбиття підсумків роботи учителем.

- Що на уроці було головним? Цікавим?

- Чого ви навчилися?

- Чим поповнили свої знання?

- Яка група швидко і правильно виконала завдання?

- Як працював клас? Окремі учні?

- Оцінки тим, хто захищав задачу, хто брав активну участь в обговоренні.