«Тригонометрические функции»



Дата01.03.2019
өлшемі103.07 Kb.
түріРеферат
Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Исследовательский проект по теме

«Тригонометрические функции»

Исполнитель:

Воронко Евгений Вячеславович

ученик 11 «А» класса

Руководитель:

Кирилова Татьяна Леонидовна

учитель математики



Содержание

  1. Введение……………………………………………………………………….………….3



  1. Задания В4. Вычисление элементов прямоугольного треугольника…………………………………………………………………………….6



  1. Задание В7. Нахождения значения выражения…………………..…….7



  1. Задание В11. Исследование функции с помощью производной..8



    1. Наименьшее значение функции на отрезке

    2. Наибольшего значения функции на отрезке

    3. Нахождение точки минимума

    4. Нахождения точки максимума



  1. Систем уравнений



  1. Заключение



  1. Список литературы



  1. Приложение




  1. Введение

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( - треугольник, а - измеряю). Т.о. значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует; другими словами тригонометрическая величина есть функция угла. Отсюда название тригонометрические функции. Еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо геометрия - царица математики, а тригонометрия - царица геометрии.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Тригонометрию считают одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом. Казалось бы, тригонометрию можно считать лишь частью геометрии, однако тригонометрические функции — это объект изучения математического анализа. Тригонометрия – любимая тема разработчиков. Часто встречаются специфические, каверзные вопросы и задачи, не каждый которые может решить быстро. Они на первый взгляд незаметны и их немного, но обязательно включаются разработчиками в ЕГЭ по математике. ЕГЭ по математике считается одни из наиболее сложных и важных экзаменов; при правильной подготовке хорошо может сдать каждый. Формула успеха проста – высокая степень восприимчивости, мотивация и сильный педагог. Но иногда даже и этого бывает недостаточно, чтобы получить на экзамене максимальное количество баллов. Основным подводным «подводным камнем» является порой простота заданий и невнимательность. А так же неправильные ответы связаны с арифметическими ошибками.

Цель, которую я преследую:

Исследовать Открытый Банки Заданий по математике и вычленить виды заданий, содержащие тригонометрические функции.

Исходя из данной цели, я поставил перед собой следующие задачи:


  1. Классифицировать задания;

  2. Вычленить основной теоретический материал для успешного решения задания;

  3. Найти рациональные приемы и методы решения;

Объектом исследования является открытый банк заданий по математике.

Итогом проведенной работы является определение основных тенденций в подготовке к аттестации по математике в виде тестового задания типа ЕГЭ.

Задания на тригонометрию встречаются в трех типах группы В и в заданиях повышенного уровня.


  1. Задание В4.

Данный класс заданий направлен на вычисление элементов прямоугольного треугольника, связанными с определениями тригонометрических функции острых углов прямоугольного прямоугольника, в том числе по готовому черчежу.

В этом классе заданий встречаются три вида задач:



  1. Нахождение:

  • Внешнего и внутреннего угла sin, cos,tg треугольника(многоугольника);

  • Наибольший и наименьший угол(острый, тупой);

  1. Нахождение стороны треугольника(многоугольника);

  2. Нахождение высоты;

Для решения задания достаточно знать определения:

  1. Синуса;

  2. Косинуса;

  3. Тангенса;

  4. Основные тригонометрические тождества;



    1. Пример задания 1.

В треугольнике АВС угол С равен 90, АС=12,

sinA=

Найдите ВС.

Решение.

Это задание можно решить двумя способами:



Способ 1.

Поскольку



то можно обозначим ВС=5х, АВ=13х. Тогда, по теореме Пифагора получаем следующее ,

откуда, учитывая, что длина стороны положительна, получаем х=1,

и, следовательно, ВС=5.

Ответ: ВС=5;

Способ 2.

Зная sinA, можно найти, cosA, т.е

cosA= ;

Далее, через тангенс выражаем ВС и вычисляем;

tgA=

BC=.



Ответ: ВС=5.

    1. Пример 2. Прототип №27897

В В4 также встречаются задания, которые можно решить в одно действие.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.



ma.ob10.b4.274/innerimg0.jpg

Решение.


Данный прототип можно решить буквально в одно действие, воспользовавшись свойством о вписанном правильном треугольнике в окружность:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Т.о. если радиус R=4, то и гипотенуза будет равна AB=2R, т.е. АВ=8

Ответ:8.


    1. Пример Прототип №27798.

В треугольнике ABC ac = bc = 2 \sqrt{3}, угол C равен 120^\circ. Найдите высоту AH.

ma.ob10.b4.166/innerimg0.jpg

Решение.


Т.к. АВС - равнобедренный, то катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы, а значит высота ,она же гипотенуза и медиана равна . по теореме Пифагора основание равно

АВ=6


Т.о. катет, лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы, то есть 3.

Ответ: АН=3.




  1. Задание В7.

Задание на вычисление значения логарифмического выражения и тригонометрических функции. Но так как тема моего проекта является «Тригонометрические функции», то я рассмотрю этот тип заданий.

Для правильного решения этого задания, нужно уметь:



    1. Пример 1.

Найти значение выражения

\frac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ }{\sin 22{}^\circ }

Решение:




    1. Пример 2.

Найти значение выражения -4\sqrt{3}\cos (-750{}^\circ ).

Решение:


Ответ: -6



    1. Пример 3.

Дано: 1 и 2 . Найдите: 3

Решение:

Из основного тригонометрического



4

выразим 5



6

Так как 7 на 8 принимает отрицательное значение, то, извлекая, квадратный корень из выражения (*)  получаем:



9

Теперь в это выражение подставим значение 10



11

Ответ:_-0,6_.__Пример.'>Ответ: -0,6 .

    1. Пример.

Найти значении выражения.

\frac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ }{\sin 22{}^\circ }

Решение.


Ответ: -24.




  1. Задание В11.

Задание на исследование при помощи производной точек минимума (максимума) заданной функции или её наименьшего(наибольшего) значения на отрезке. При этом возможно два типа заданий: либо производная задана формулой, либо производная задана графиком.

Если функция задана формулой, то при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, используем стандартный алгоритм:



  1. Найти значения функции на концах отрезка, то есть числа f(a) и f(b);

  2. Найти е значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а;b);

  3. Сравнить все найденные значения и выразить наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a;b];

Если функция задана графиком, то используем следующий алгоритм

  1. Найти Область определения;

  2. найти Производную;

  3. Стационарные точки;

  4. Промежутки возрастания и убывания;

  5. Точки экстремума;

Для правильного решения этого задания, нужно уметь:

  1. Вычислять производные и первообразные элементарных функций;

  2. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций;

  3. Использовать выше указанные алгоритмы;



    1. Пример. Нахождения наибольшего(наименьшего) значения с помощью функции

Найти наибольшее значение y=9x-6sinx+7, на

Решение:

  1. Так как производная задана функцией, то используя первый алгоритм нахождения значения. Найдем значение функции на концах отрезка:



    1. y(0)=7;

  1. Найдем стационарные точки(критические), принадлежащие внутренней области отрезка

y’(x)=(9x-8sinx+7)’=9-8cosx

y(x)=0, т.е. 9-8cosx=0 cosx=



  1. Т.о. .

Ответ: .

Задание С1. Системы уравнений.

С1 – решение по силам большинству учеников. Тут все однообразно. Как правило, в одном из уравнений делается замена переменной, уравнение сводится к квадратному, находятся его корни, что после обратной замены позволяет найти одну из данных переменных или простейшую функцию от неё. При этом второму уравнению (из которого можно будет найти оставшуюся неизвестную) удовлетворяют не все найденные значения переменной, поэтому при подстановке и отборе значений для неё требуется внимание и аккуратность, потому что некоторый процент учащиеся делают вычислительную ошибку.

Так как в банке заданий выложены только задания В, то задания возьмем из прошлых лет ЕГЭ.

Пример. Решить систему уравнений



Решение.


Пусть



t=

Выполним обратную замену



Ответ: (13;.



Вывод.

Я выбрал данную тему проекта, потому что я испытывал сложности. Но исследуя и разбирая задания о теме тригонометрические функции, я не только вспомнил материал, но и сделал для себя вывод, что все задания в ЕГЭ по теме тригонометрия, для меня решабельны.



Используемая литература

  1. Открытый банк заданий

http://www.mathege.ru:8080

  1. Википедия

http://ru.wikipedia.org



Достарыңызбен бөлісу:


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет