Теорема Фалеса

Тема уроку: Теорема Фалеса

• 
  навчальна: домогтися засвоєння змісту теореми Фалеса, звернути увагу учнів на метод від супротивного як універсальний метод доведення математичних тверджень, сформувати вміння застосовувати теорему Фалеса до розв’язування задач;
  
• 
  розвивальна: розвивати інтелектуальні та творчі здібності, мислення, увагу, пам’ять;
  
• 
  виховна: виховувати графічну культуру, інтерес до математики, спонукати учнів до вивчення життєвого шляху і наукових відкриттів великих вчених.
  

мультимедійне забезпечення: відео-фрагмент «Історія одного вченого (Фалес Мілетський)» https://vk.com/nauka360, презентація «Теорема Фалеса. Задачі за готовими малюнками».

Аналіз самостійної роботи з теми «Вписані та описані чотирикутники. Відповіді вчителя на питання учнів.

Фронтальне повторення аксіом та теорем із записом на дошці відповідних формул та малюнків: аксіома паралельних прямих, теореми про середню лінію трикутника та про середню лінію трапеції (ці факти будуть використані під час доведення теореми Фалеса).

Розповідь учителя.

Сьогодні на уроці ми вивчаємо знамениту теорему Фалеса. Названа ця теорема на честь Фалеса Мілетського (прибл. 624-548 до н.е.) – першого філософа, математика, астронома античності, людини, від народження якої почала відлік вся європейська наука. Його досягнення не обмежувалися лише математикою. Завдяки своїм астрономічним знанням ще 2,5 тис. років тому він вирахував тривалість року – 365 днів, визначив час сонцестояння та рівнодення, навіть передбачив Сонячне затемнення. Фалеса вважають першим грецьким астрономом. З іменем Фалеса Мілетського, засновника іонійської школи, пов’язані зародки грецької геометричної науки. Строго логічне доведення правильності тверджень було винайдено греками. Фалесу, голові цієї школи, приписують відкриття і доведення ряду теорем: про поділ кола діаметром навпіл; про те, що кут, вписаний у півколо, є прямим; про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника; про рівність вертикальних кутів; про пропорційність відрізків, утворених на прямих, що перетинаються паралельними прямими. Фалеса по праву вважають першим мудрецем серед семи великих мудреців античності. Важко повірити, що одна людина мала такий істотний вплив на історію цілої планети. В кінці IV ст. до н.е. найважливіші досягнення вчених Стародавньої Греції було систематизовано у «Началах» Евкліда. Протягом багатьох століть, аж до XIX ст., геометрія вивчалась у школах по цій знаменитій науковій праці.

IV. Вивчення нового матеріалу

C₁
C₂
O

В

A₂

A₃

B₁

B₂

B₃

A₁

А

«Конструювання теореми»:

Учні креслять у зошитах кут AOB. На стороні ОА відкладають рівні відрізки Через точки поділу проводять паралельні прямі, які перетинають сторону ОВ відповідно у точках Вчитель дає завдання виміряти відрізки та порівняти їх довжини. Учні висловлюють гіпотезу: на другій стороні кута теж утворились рівні відрізки.

Учитель формулює теорему: (слайд 1)

Доведення теореми (методом від супротивного).

Як поділити відрізок на 2, на 4 рівні частини? (Учні пригадують задачу на побудову «Поділ відрізка навпіл»). А як поділити відрізок на n рівих частин? У цьому нам допоможе теорема Фалеса.

Поділ відрізка на n рівних частин.
Практична робота

Поділити відрізок завдовжки 5 см на 3 рівні частини.

Учитель демонструє побудову на дошці, учні виконують завдання у зошитах.

Розв’язування задач

Робота з підручником. Усне розв’язування задач

№ 372, 373.

Колективне розв’язування задач.

Що називається відстанню від точки до прямої?

Який вид чотирикутника ABCD? Обгрунтуйте свій висновок.Чи є відрізок MK середньою лінією трапеції? Доведіть.

Сформулюйте теорему про середнє лінію трапеції. Обчисліть довжину відрізка MK.

Розв’язання даної задачі учні записують на дошці та в зошитах.

Дано: ABCD - трапеція, AE = EM = MB, MK ∥ BC ∥ AD, EF ∥ BC ∥ AD, BC = 16см, АМ = 28см.

Знайти: MK, EF.

Розв’язання

Нехай MK = a, EF = b.

За ознакою паралельності прямих MK ∥ EF. За теоремою Фалеса CK = KF = FD. Звідси MK – середня лінія трапеції EBCF, EF - середня лінія трапеції AMKD. За теоремою про середню лінію трапеції маємо систему рівнянь:

звідси

Отже, MK = 20см, EF = 24см.

Відповідь. 20 см, 24 см.

Задачі № 394 і № 396 (на доведення) учні пояснюють усно за готовими малюнками.

Задача на «12» (№ 390) (слайд 6)

Цю задачу можна запропонувати учням для роботи в групах або для самостійного розв’язання. У першому випадку учні оцінюють свої досягнення у групі в залежності від внеску кожного у розв’язання задачі (від 10 до 12 балів).

Для розв’язання даної задачі учні повинні знати наступні факти: означення і ознаку рівнобедреного трикутника; означення висоти та медіани трикутника; властивість висоти рівнобедреного трикутника, проведеної до основи; властивість двох прямих, перпендикулярних до однієї й тієї ж прямої; теорему Фалеса.

План розв’язання задачі: 1) довести, що EF = FC;

2) пояснити, що DF - середня лінія ; звідси DF = 6см; 3) розглянути , знайти сторону AF, встановити вид цього трикутника; звідси .

Демонстрація відеофільму «Історія одного вченого (Фалес Мілетський)».

https://www.youtube.com/watch?v=et_IdDRXLXY