Структура и качество оптического изображения Свойство линейности Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта

Структура и качество оптического изображения

Свойство линейности

• Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:

• изображающие оптические системы полностью линейны

Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)

• При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину:

• где – увеличение

Функция рассеяния точки

• Функция рассеяния точки (ФРТ) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны

Функция рассеяния точки

• Изображение всего предмета будет представлять собой сумму изображений каждой точки предмета:

• где – предмет, – изображение точки предмета

Гармонический периодический объект

• Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами

• Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией:

Гармонический периодический объект

• Интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:

• – пространственная частота, – комплексная амплитуда

Изображение гармонического объекта

• Изображение гармонического объекта

• где – распределение интенсивности на предмете

Изображение гармонического объекта

• Переобозначим , :

Изображение гармонического объекта

• Обозначим , тогда распределение интенсивности на изображении гармонического объекта:

Оптическая передаточная функция

• Оптическая передаточная функция (ОПФ) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:

Оптическая передаточная функция

• ОПФ – это комплексная функция:

Частотно-контрастная характеристика

• Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:

• где a – амплитуда на предмете, a – амплитуда на изображении

Контраст гармонического объекта

• Контраст для периодических (гармонических) изображений:

Постоянная и переменная составляющие изображения

• Контраст для изображения гармонического объекта:

• где , – постоянная и переменная составляющие изображения гармонического объекта

Частотно-контрастная характеристика

• Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный

Передача структуры изображения

• Передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через преобразования Фурье

• Отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:

• графиков сечений или
• изометрического изображения “поверхности”
• карты уровней

Дифракция и аберрации

• Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации:

• если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными
• если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными

Схема формирования оптического изображения

• Действие реальной оптической системы:

• преобразование расходящегося пучка лучей в сходящийся
• ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта
• ослабление энергии проходящего поля
• нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля

Схема формирования оптического изображения

• При небольших аберрациях поле на волновом фронте:

Зрачковая функция

• Зрачковая функция показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка:

• где – канонические зрачковые координаты – функция пропускания по зрачку – область зрачка в канонических координатах

Формирование к.а. поля в плоскости изображения

• Применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля:

Формирование к.а. поля в плоскости изображения

• Поскольку и , то:

• Множитель , тогда:

Формирование к.а. поля в плоскости изображения

• можно выразить через и :

• для крайнего луча
• для остальных лучей

Канонические координаты на предмете и изображении

• Канонические координаты на предмете и изображении:

Комплексная амплитуда и ФРТ в канонических координатах

• Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах:

• комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах

ОПФ в канонических координатах

• Оптическая передаточная функция в канонических координатах:

• где – канонические пространственные частоты:
• канонические частоты безразмерные:

Связь зрачковой функции с ОПФ в канонических координатах

• Связь зрачковой функции с ОПФ в канонических координатах:

Пример из тестов

• Какая функция показывает зависимость контраста изображения периодического гармонического объекта от его пространственной частоты?

• Как связаны оптическая передаточная функция и зрачковая функция?

• ОПФ является квадратом зрачковой функции
• ОПФ является автокорреляцией зрачковой функции
• ОПФ является модулем обратного Фурье-преобразования от зрачковой функции
• никак не связаны

• Какое явление нельзя описать при помощи зрачковой функции?

• преобразование оптической системой расходящегося пучка лучей в сходящийся
• ограничение оптической системой размеров проходящего пучка лучей
• ослабление оптической системой энергии проходящего поля
• нарушение оптической системой гомоцентричности пучка
• изменение оптической системой поляризации проходящего излучения
• передачу оптической системой пространственных частот

Зрачковая функция при отсутствии аберраций

• Зрачковая функция при отсутствии аберраций:

• где – область зрачка в канонических координатах

Функция рассеяния точки при отсутствии аберраций

• Функция рассеяния точки при отсутствии аберраций:

• где , – функция Бесселя первого рода, первого порядка

Функция рассеяния точки при отсутствии аберраций

• центральный максимум – 83.8% энергии (высота 1.0)
• первое кольцо – 7.2% энергии (высота 0.0175)
• второе кольцо – 2.8% энергии (высота 0.0045)
• третье кольцо – 1.4% энергии (высота 0.0026)
• четвертое кольцо – 0.9% энергии

Диск Эри

Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТ

• Аподизация – специально создаваемая неравномерность пропускания по зрачку, влияет на передачу структуры изображения сложного объекта

Безаберационная ОПФ

• Для безаберрационной оптической системы автокорреляция зрачковой функции:

• где – область интегрирования

Предельная пространственная частота

• Максимальная каноническая пространственная частота:

Пример из тестов

• Circ
• Rect
• Sin2
• Cos
• Sinc2
• Bessinc2

Предельная разрешающая способность по Релею

• Предельная разрешающая способность – это минимальное расстояние между двумя точками, при котором их изображение отличимо от изображения одной точки

• для оптических систем при отсутствии аберраций к.ед.

Разрешающая способность по Фуко

• Разрешающая способность R – это максимальная пространственная частота периодического тест-объекта, состоящего из черно-белых штрихов (миры Фуко), в изображении которого еще различимы штрихи

• предельная разрешающая способность R0 определяется размерами зрачка, длиной волны и аберрациями

Пример из тестов

• Чему равна предельная разрешающая способность, если диаметр диска Эри равен 0.2 мкм?

•  = D/2 = 0.2/2 = 0.1

• Какую длину волны необходимо использовать, чтобы добиться предельной разрешающей способности 0.3 мкм, если оптическая система находится в воздухе, а ее задняя апертура A’=0.6? Ответ дать в мкм.

•  = 0.61 к.ед. = 0.61/A
•  = 0.61 /А = 0.610.3/0.6 = 0.3 мкм

Влияние аберраций на ФРТ

• Влияние малых аберраций – часть энергии из центрального максимума переходит в кольца
• Влияние больших аберраций – сходство ФРТ с безаберрационной полностью теряется

Картины Эри для аберраций различных типов

Число Штреля

• Число Штреля (критерий Штреля) показывает влияние аберраций на ФРТ:

• где – значение ФРТ в ее максимуме при отсутствии аберраций, – значение ФРТ в ее максимуме при наличии аберраций

Критерий Релея для малых аберраций

• Если величина волновой аберрации не превосходит , то число Штреля больше 0.8

Вывод формулы Марешаля

• Функция рассеяния точки:

Вывод формулы Марешаля

• В случае малых аберраций , следовательно:

Вывод формулы Марешаля

• Обозначение среднего значения волновой аберрации по зрачку:

Вывод формулы Марешаля

• Модуль комплексного числа :

Формула Марешаля

• Формула Марешаля:

Допуск Марешаля для малых аберраций

• Средний квадрат деформации волнового фронта (СКВ):

Влияние аберраций на ОПФ

• При наличии аберраций ОПФ оптической системы становится меньше, чем ОПФ безаберрационной системы

Дифракционно-ограниченные оптические системы

• Дифракционно-ограниченные оптические системы:

• рабочий интервал частот, превышает половину от предельной
• качество изображения определяется явлениями дифракции и непосредственно зависит от отношения апертуры к длине волны
• степень коррекции аберраций оценивается по критерию Марешаля

Геометрически-ограниченные оптические системы

• Геометрически-ограниченные оптические системы:

• рабочий интервал частот не превосходит
• качество изображения определяется картиной поперечных аберраций и непосредственно не зависит от длины волны и апертуры
• степень коррекции аберраций оценивается поперечными аберрациями

Пример из тестов

• В чем заключается влияние больших аберраций на ФРТ?

• структура ФРТ полностью разрушается
• интенсивность центрального максимума уменьшится, а колец увеличится
• центральный максимум расширится, а интенсивность колец уменьшится
• центральный максимум расширится, а интенсивность не изменится

• В каких случаях можно использовать формулу Марешаля?

• если аберрации невелики, и присутствует только сферическая аберрация
• если аберрации невелики
• если волновая аберрация превышает  / 4
• если средний квадрат деформации волнового фронта превышает  / 14

• Как можно оценить качество геометрически-ограниченной системы?

• по критерию Марешаля
• по числу Штреля
• по поперечным аберрациям
• по точеной диаграмме
• по параксиальным характеристикам