Статья по философии математики. Как известно, крупнейшие философы по-разному объясняли происхождение математики. Этот вопрос исследовался ещё в античности, существенную и определяющую роль в этом отношении сыграло платоновское учение



Pdf көрінісі
Дата02.04.2019
өлшемі147.88 Kb.

468 

Liberal Arts in Russia 2014. Vol. 3. No. 6

 

DOI: 10.15643/libartrus-2014.6.5 



Философия и математика в учении Платона: 

развитие идеи и современность 

© Н. В. Михайлова 

Минский государственный высший радиотехнический колледж 

Беларусь, 220005 г. Минск, пр. Независимости, 62. 

Тел.: 8 (017) 331 89 45. 

Email: michailova_mshrc@mail.ru 

Статья по философии математики. Как известно, крупнейшие философы 

по-разному объясняли происхождение математики. Этот вопрос исследовался 

ещё  в  античности,  существенную  и  определяющую  роль    в  этом  отношении 

сыграло  платоновское  учение. Поэтому при  обсуждении этого вопроса нель-

зя  не  обратиться  к  проблеме  взаимодействия  философии  и  математики  в 

учении  Платона.  Многие  математики  считают,  что  абстрактные  матема-

тические  объекты  принадлежат  в  определенном  смысле  миру  идей  и  что  не-

противоречивые объекты и теории действительно описывают математиче-

скую реальность, так как Платон вполне отчетливо выразил точку зрения на 

математику,  согласно  которой  математические  понятия  объективно  суще-

ствуют  как  особые  сущности  между  миром  идей  и  миром  материальных  ве-

щей. В контексте проблемы обоснования математики особый  интерес вызы-

вает  то, что называют «платонизмом Гёделя».  В статье показывается, как 

платонистская  объективизация  математических  понятий  способствует 

развитию современной математики, выявляя философское понимание сущно-

сти  абстракций.  Для  обоснования  своей  точки  зрения  автор  привлекает  ра-

боты современных специалистов в области философии математики. 

Ключевые слова: 

философия математики, учение Платона, платонизм. 

1.

  Введение 



Феномен  рождения  математического  знания  по-разному  оценивался  многими  филосо-

фами,  но  при  обсуждении  этого  вопроса  нельзя  не  обратиться  к  проблеме  взаимодействия 

философии и математики в учении Платона.  

Изучая математику, Платон пришел к выводу, что существует два мира: мир идей (стро-

гий, упорядоченный и гармоничный) и мир вещей (несовершенный, неточный и хаотичный). 

Абстрактные математические объекты, по Платону, принадлежат миру идей. Согласно фило-

софскому  учению  Платона,  наблюдаемый  нами  мир,  как  мир  чувственно  воспринимаемых 

вещей, является лишь отражением объективного «мира идей», которые вечны и неизменны, 

в отличие от непостоянных и изменчивых чувственных вещей. В платоновском диалоге «Ти-

мей» признается, «что есть тождественная идея нерожденная и негибнущая, ничего не вос-

принимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак 

иначе  не  ощущаемая,  но  отданная  на  попечение  мысли»  [1,  с. 493].  Это  другое  философско 

воззрение,  согласно  которому  математическое  знание  есть  одновременно  и  условие,  и  пер-

вооснова  действительности,  которое  коренится  в  платоновском  взгляде  на  математику.  

В  математике  Платон  видел  нечто  «среднее»  между  идеями  и  чувственными  вещами.  

Для  понимания  всей  сложности  проблемы  обоснования  современной  математики  следует 

отметить, что Платон вполне отчетливо выразил точку зрения на математику, согласно ко-


ISSN 2305-8420 

Российский гуманитарный журнал. 2014. Том 3. №6 

469 

торой математические понятия объективно существуют как особые сущности между миром 



идей и миром материальных вещей.  

Гениальной  мыслью  Платона  для  современной  математики  можно  назвать  интенцию  о 

том,  что  математические  высказывания описывают  в  действительности  не  реальные  физи-

ческие  объекты,  а  некие  идеальные  сущности.  С  Платона  обретают  подлинное  право  на  су-

ществование  «идеальные  объекты»,  то  есть  такие  объекты,  которые  в  принципе  не  могут 

существовать в мире физических феноменов. Платон открывает для них другую реальность, 

в которой находят себе место математические объекты, ставшие потом основными действу-

ющими понятиями «Начал» Евклида. Если платонизм как рабочая вера математиков не вы-

зывает в целом у многих профессиональных математиков никаких сомнений, то в философ-

ском  отношении  он  дополнительно  отягощен  аспектами,  связанными  с  понятиями  суще-

ствования  и  истины.  Хотя  никто  не  отрицает,  что  платонизм  поставил,  в  рамках  человече-

ского познания, вопрос о существовании умопостигаемого сверхчувственного мира и акцен-

тировал проблему его связи с чувственным миром. Философско-математическую интерпре-

тацию  платонизма  можно  также  рассматривать  как  одобрение  математическим  сообще-

ством наиболее вероятных переусложненных математических заключений.  

2.

  Платонизм в современной философии математики 



Некоторые  философы  считают  термин  «платонизм»  не  совсем  удачным  в  том  смысле, 

что он  ассоциируется со  специфическими  вопросами  математического  мышления,  контекст 

которых  давно  утерян.  Во-первых,  платонизм  шире  учения  Платона  и  глубже  его,  хотя  он 

нашел в Платоне лучшего из выразителей. Во-вторых, направление платонизма в математи-

ке дает повод для многочисленных философских дискуссий, хотя они в основном опроверга-

ют лишь «абсолютный платонизм». Поэтому часто употребляют другие термины, например, 

«математический реализм», хотя сам по себе термин «реализм» слишком многозначен и тео-

ретически  перегружен.  Проблема  реализма  активно  обсуждается  в  философии  математики. 

Так,  «внутренний  реализм»,  появившийся  в  философии  благодаря  авторитету  Хилари 

Патнэма,  предполагает,  что  все  суждения  о  математических  объектах  определяются  содер-

жанием теории и связан с ее концептуальными особенностями. Он высказал убеждение, что 

принятие реализма в математике является единственным средством от превращения мате-

матики  в  «необъяснимое  сказочное  явление»  [2,  с. 60].  Напомним,  что  термин  «реализм» 

происходит от латинского слова realis, то есть вещественный. Возможно поэтому, умеренные 

реалисты уподобляют математические объекты вещественным предметам, хотя некритиче-

ски используют представление о математической реальности. Это вытекает из расширения 

реальности,  обусловленного  новыми  сущностями,  в  силу  веры  в  некоторое  реальное  поло-

жение дел, существующее независимо от нас, то есть в платонизм или реализм.  

В соответствии с учением Платона, каждая реальная вещь − это лишь приближенная ре-

ализация  идеи.  Несмотря  на  некоторую  недостаточность  теоретико-математических  осно-

ваний,  доступных  философии  его  времени,  Платон  изменил  само  представление  о  природе 

математического  метода,  в  котором  конечный  результат  развития  математических  теорий 

является исходной позицией. Отношение Платона к математике характеризует то, что он ви-

дел в ней необходимое знание, с которого начинается путь бесконечного постижения исти-

ны. Напомним, что надпись на входе в платоновскую Академию гласила: «Да не войдет сюда 

не  знающий  геометрию»,  с  которой  связывалась  математика.  Сегодня  принято  называть 



470 

Liberal Arts in Russia 2014. Vol. 3. No. 6

 

платонизмом  любую  философскую  позицию,  которая  систему  идеальных  объектов  челове-



ческой мысли трактует как особый и независимо существующий мир. «Платонизм может по-

ниматься  по-разному,  поскольку  взгляд,  согласно  которому  математические  объекты  суще-

ствуют  объективно  и  описываются  математическими  теориями,  –  а  это  и  составляет  суть 

математического  платонизма  –  совместим  со  многими  дополнительными  предпосылками 

как  математического,  так  и  метафизического  толка»  [3,  с. 494–495].  Он  представляет  собой 

специфически философский идеал знания.  

Представления  о  платонизме  варьируются  от  «крайнего  платонистского  реализма», 

признающего математические абстракции в качестве вечных самостоятельно существующих 

идеальных сущностей, до признания того, что математические понятия не являются только 

конвенциями. Этот разброс взглядов дает основание предположить, что математическое ми-

ровоззрение,  которого  стихийно  придерживаются  профессиональные  математики,  можно 

охарактеризовать как «умеренный платонизм». Например, математик и философ математи-

ки Е. М. Вечтомов утверждает: «Умеренный платонизм, освобожденный от крайностей и ми-

стики  и  служащий  реальной  методологией  действующих  математиков,  соответствует  при-

роде  математики,  является  подходящей  философией  познания,  способной  правильно  оце-

нить, что такое математика» [4, с. 119]. С точки зрения умеренного платонизма в математике 

могут  рассматриваться  утверждения  об  абстрактных  сущностях,  опирающиеся  на  понятие 

актуальной  бесконечности.  В  отличие  от  математического  платонизма  умеренный  плато-

низм,  как  некоторая  «срединная  позиция»,  не  предполагает  первичности  математического 

платонизма,  а  состоит  в  признании  активности  субъекта  и  определенной  совокупности  его 

представлений,  имеющего  собственное  видение  реальности.  Необходимо  все  же  уточнить 

интерпретацию  и  понимание  математического  платонизма  с  точки  зрения  профессиональ-

ных математиков. Веру в существование математических абстрактных объектов часто назы-

вают  «математическим  платонизмом».  Математический  платонизм  зарождался  в  процессе 

становления  и  отделения  современной  математики  от  физического  мира,  поэтому  возрож-

дение платонизма следует отнести к XIX веку, когда математики совершенно свободно поль-

зовались  понятием  актуальной  бесконечности  в  классической  математике  и  идеей  беско-

нечного множества.  

Это  предположение  тоже  требует  прояснения,  поскольку  само  философско-

методологическое  мировоззрение,  которого  придерживаются  некоторые  современные  ма-

тематики  правильнее  характеризовать, как  «умеренный скептический  платонизм»,  хотя  са-

ма по себе концепция платонизма в принципе не противоречит их воззрениям. Более обсто-

ятельное обсуждение направления платонизма в математике выходит за рамки этого иссле-

дования, поэтому говоря об «умеренном скептическом платонизме», иногда пользуются ка-

вычками. Он расходится с «математическим платонизмом», предполагающим, что математи-

ка  сможет  ввести  нас  в  «мир  абсолютных  идей»,  поскольку  в  такой  интерпретации  именно 

там реально существуют математические понятия и утверждения, истинность которых объ-

ективна. «Мы считаем, – настаивает логик и математик Н. Н. Непейвода, – данное воззрение 

профанацией  платоновского  взгляда  и  самопереоценкой  человека  и  его  научного  мышле-

ния» [5, с. XXIII]. Заметим, что хотя сами структуры, возникающие в реальном мире, являются 

реализациями  общих  идей,  сами  идеи мира  Платона  недоступны человеку,  так как  они  бес-

конечно совершенны, в отличие от ограниченных возможностей человека. Так как сознание 

обеспечивает  человеку  связь  с  миром,  то  мир  идей  Платона  можно  интерпретировать  как 


ISSN 2305-8420 

Российский гуманитарный журнал. 2014. Том 3. №6 

471 

мир  информации.  Хотя  нельзя  также  не  признать,  что  деятельность  субъекта  математиче-



ского  познания  дает  потенциальную  возможность  философского  приближения  к  миру  аб-

страктных идей.  

Умеренный  скептический  платонизм,  как  философская  вера  математиков,  раскрывает 

также  роль  математического  знания  в  познании  существующего  мира.  Вовсе  не  случайно 

теоретиков  и  практиков  математики,  иногда  называют  «стихийными  платонистами»,  по-

скольку они уверены в истинности математического знания, что принципиально важно для 

понимания  философской  проблемы  обоснования  математики.  Многие  математики  всегда 

считали математические объекты принадлежащими в том или ином смысле миру идей и что 

непротиворечивые объекты и теории описывают математическую реальность. Для Платона 

«идея – это умственное зрелище истинного бытия. Истина не может быть выражена в поня-

тии. А идея как раз есть то, куда устремляются понятия, их недостижимый предел» [6, с. 28]. 

В  своей  знаменитой  аллегории  о  «пещере  и  ее  узниках»  Платон  показывает,  как  выглядит 

путь в мир идей, когда надо начинать с самого легкого, то есть сначала надо смотреть на те-

ни, затем – на отражение в воде различных предметов и людей, а уж только потом – на самые 

вещи.  По  отношению  к  математическим  наукам  созерцание  математических  предметов  как 

раз выступает в толи подготавливающего испытания, без прохождения которого трудно что-

то увидеть при «ярком солнечном свете» истины. Эта интерпретация стала одним из общих 

мест платонизма.  

Математика,  кроме  логически  непротиворечивых  теорий,  имеет  онтологически  истин-

ные  теории.  Поэтому  можно  предположить,  что  ее  исходные  положения  являются  априор-

ными, что означает их интерсубъективность, или «предпонимание», в качестве необходимой 

формы математического мышления, которая укоренена в структуре математической реаль-

ности. Программы обоснования математики тоже являются априористскими, поскольку по-

стулируют истинность некоторых утверждений и надежность выбранных методов. Интерес-

ную трактовку априорности математики, основанную на понятии практики, предлагает фи-

лософ математики В. Я. Перминов: «Математика априорна в том смысле, что ее исходные ин-

туиции имеют онтологическую природу и не содержат в себе каких-либо эмпирических кон-

статаций»  [7, с. 286].  Его  праксеологическая концепция  математического  априоризма,  кото-

рая  одновременно  является  реализмом,  исходит  из  понимания  математических  очевидно-

стей как универсальных структур мышления, проистекающих из необходимой деятельност-

ной  или  практической  ориентации  мышления.  Праксеологический  априоризм  по  существу 

оправдывает традиционную веру математиков в реальную значимость математических объ-

ектов и теорий, то есть это хорошо коррелирует с философским взглядом на платонистское 

течение в философии математики.  

Так,  например,  канторовская  теоретико-множественная  концепция  явно  восходила  к 

учению  Платона.  Современная  версия  платонизма  в  математике  не  слишком-то  похожа  на 

платоновское видение математического мира, но суть вопроса остается прежней и проявля-

ется  в  том,  что  существованию  абстрактных  объектов  придается  онтологический  статус  и 

рассмотрение их «наравне» с существованием конкретных объектов. «Необходимость фило-

софии  математики  Платона  как  формы  духовного  творчества  заключается  в  том,  что  ми-

фопоэтическая  вольность  его  произведений  требует математического обоснования  для  фи-

лософских  положений,  и  потому  существует  установка  на  рационально-математическое 

оправдание 

или 


подведение 

фундамента 

под 

природную 



диалектику 

образно-


472 

Liberal Arts in Russia 2014. Vol. 3. No. 6

 

художественного, теологического мышления великого афинянина» [8, с. 15]. Платонистское 



сознание  работающих  математиков  зачастую  не  осознается  ими  как  специфический  фило-

софский  взгляд,  потому  что  лежащие  в  его  основе  представления  для  них  абсолютно  есте-

ственны и просты. Важнейший шаг в сторону понимания учения Платона заключался в том, 

что  концепция  мира  идей  стала  представляться  первичной,  исходной и  ясной  в  отношении 

абстрактных понятий, которыми оперирует современная математика.  

Философско-методологический анализ проблемы обоснования математики показал, что 

понимание  сущности  математики  выходит  за  пределы  логических  понятий.  Если  в  начале 

прошлого века преобладало убеждение, что основной методологический вопрос о возможно-

сти обоснования математики можно решить в рамках самой математики, то теперь уже стало 

понятно, что обоснование математики средствами только самой математики и логики недо-

стижимо.  Когда  исследование  философско-методологических  проблем  математики  доходит 

до  «предельных  оснований»  математики,  между  математикой  и  философией  математики 

устанавливается определенный баланс, с точки зрения использования разрабатываемых но-

вых идей в философии и математике. Можно даже вполне определенно сказать, что этот ба-

ланс – реальное достижение философии науки конца XIX – начала ХХ веков, которое зафик-

сировано  в  философии математики с  момента появления  программ  обоснования  математи-

ки. Феномен рождения математического знания по-разному оценивался многими философа-

ми,  но  при  обсуждении  этого  вопроса  нельзя  не  обратиться  к  греческой  философии.  Грече-

ской философии мы обязаны появлением математического метода, когда стали исследовать 

не  непосредственные  природные  объекты,  а  некоторое  представление  о  них,  как  о  субъек-

тивно воспринимаемой реальности.  

Хотя  вопрос  о  реальности  в  смысле  Платона  постепенно  утратил  свою  актуальность, 

направления обоснования математики, возникшие в начале ХХ века, заставили все же прове-

сти  внутреннее  деление  между  математическими  теориями.  Математику  как  профессию 

большого сообщества ученых можно рассматривать с различных точек зрения. Для дополни-

тельной  аргументации  востребованности  платонизма  в  математике  процитируем  мнение 

авторитетного  математика  Ю.И. Манина:  «Многие  математики  по-прежнему  считают,  что 

математика имеет дело непосредственно с платоновским миром смыслов. <…> Каков бы ни 

был  философский  статус  этих  споров,  некоторые  из  наиболее  красивых  и  высокоразвитых 

разделов математики, без сомнения, являются платоновскими» [9, с. 128]. Даже компьютер-

ное  моделирование  можно  рассматривать  как  эксперимент  в  «платоновской  реальности». 

Такой  анализ  никогда  не  был  самоцелью  философского  исследования  по  математике,  по-

скольку  он  всегда  подразумевал  синтез  всей  картины  развития  современной  математики, 

который невозможен без знания «предельных оснований», опирающихся на умеренную пла-

тонистскую  составляющую  в  математике.  Он  зависит  от  различных  онтологических  пред-

ставлений о том, какого рода существованием обладают математические объекты и от гно-

сеологических представлений, которые касаются смыслов и способов познания математиче-

ских сущностей.  

Суть умеренного платонизма состоит в том, что смыслы изначально заданы в своей по-

тенциальной  и  непроявленной  форме,  снимающее  возражение  о  том,  что  гипотетические 

платоновские сущности не могут быть познаны в силу «каузальной», или причинной, теории 

познания.  Так  как,  что  должно  быть  познано,  является  причиной  определенного  воздей-

ствия на самого познающего субъекта. Если у Платона знание – это отражение идей, то в но-


ISSN 2305-8420 

Российский гуманитарный журнал. 2014. Том 3. №6 

473 

вой интерпретации изначально существуют не готовые идеи, а только смыслы и человек не 



механически считывает  их,  а  творчески  «распаковывает»  и  логически осмысливает  «конти-

нуум  смыслов»,  что  создает  естественную  ассоциацию  с  платоновским  миром  идей.  Хотя 

платонизм  не  совместим  с  догматизмом,  математиков  интересует  также  такой  вопрос:  как 

можно прийти к идеальным высказываниям, используемым в математике? Для этого можно 

выделить два подхода к решению этой проблемы, а именно, онтологическую и эпистемоло-

гическую  версию.  Традиционно  платонизм  считается  спорным  онтологически  как  концеп-

ция существования объектов, обитающих в сфере идеального, независимо от нашего разума, 

поэтому  не  понятно  каким  образом,  например,  числа  и  другие  абстрактные  объекты  могут 

«каузально»  взаимодействовать  с  нами.  Эпистемологическое  возражение  против  математи-

ческого платонизма сосредоточено на невозможности доступа к таким идеальным объектам 

и  взаимодействия  с  ними,  поэтому  в  эпистемологическом  отношении  платонизм  оставляет 

неясность в том смысле, что интуитивный акт, способствующий открытию математической 

реальности, с точки зрения методологии есть нечто непередаваемое.  

В  философии  математики  оба  эти  аргумента  можно  опровергнуть  по  одной  и  той  же 

причине,  поскольку  они  предполагают,  что  процедуры  «вызывать  события»  или  «взаимо-

действовать  с  нами»  должны  пониматься  в  терминах  действующей  причинности.  Хотя  не 

известно,  как  разум способен  «схватывать»  или  «постигать»  математические  объекты  и  ис-

тины,  он  считает,  что  ответ  на  это  можно  дать  в  терминах  формальной  причинности, кото-

рую используют, но не признают за таковую. В объяснении законов природы постулируются 

свойства  и  универсалии,  понимаемые  как  реальные  абстрактные  сущности,  но  это  явно  не 

действующая  причинность.  Поэтому  умеренный  платонизм,  провозглашающий  самостоя-

тельное  существование  математических  объектов  и  структур,  не  может  быть  опровергнут. 

Заметим  также,  что  платонистские  взгляды  по  новому  возродились  в  философской  школе 

логицизма, представители которой допускали существование математических объектов, ко-

торые существуют в мире идей. Говоря о связи платонизма и логицизма, можно сказать, что 

философские  исследования  логических  оснований  математики  в  прошлом  веке  привели  к 

возрождению  платоновского  реализма,  точнее  к  идее  существования  абстрактных  матема-

тических объектов в некотором идеальном мире.  

Платонистская  объективизация  математических  понятий  стимулировала  развитие  ма-

тематики,  способствуя  пониманию  сущности  абстракции.  Следует  отметить,  что  термин 

«платонизм» давно устоялся в философии математики. Но мало кто знает, что, несмотря на 

определенную  близость  идеологии  работающих  математиков  к  философии  Платона,  сам 

термин  «математический  платонизм»  ввел  в  прошлом  веке  в  философско-математическое 

обращение немецкий математик Пауль Бернайс, который в статье «О платонизме в матема-

тике» сопоставлял подходы к термину «существование». В теории множеств Кантора плато-

ническая  концепция  простирается  намного  дальше,  чем  в  теории  действительных  чисел. 

Кроме  того,  применения  платонических  концепций  анализа  и  теории  множеств  оказались 

плодотворными  в  современных  теориях  алгебры  и  топологии.  «Эти  применения  столь  рас-

пространены, – считает Бернайс, – что не будет преувеличением сказать, что платонизм ца-

рит ныне в математике» [10, c. 262]. Оригинальность платонизма заключается в том, что эта 

концепция направлена на выявление общих философских понятий, с помощью которых до-

казывается  объективный  статус  сущностных  признаков  абстрактных  математических  объ-

ектов, а также возможность их истинного познания. В дополнение к этому следует заметить, 


474 

Liberal Arts in Russia 2014. Vol. 3. No. 6

 

что в современной математике есть непротиворечивые теории, которые противоречат друг 



другу,  а  признание  истинности  обеих  ставит  под  сомнение  объективность  математики.  Ко-

гда математик, не углубляющийся в философские аргументы, берется за решение методоло-

гических вопросов математики и за объяснение природы своих результатов, он вольно или 

невольно привносит в свои общие рассуждения элементы платонизма.  

Платонизм  выжил,  и,  несмотря  на  его  теологические  претензии,  современная  филосо-

фия математики продолжает анализировать его новые интерпретации. На современном эта-

пе  развития  философии  математики  востребованность  платонистской  составляющей  в 

обосновании  математики  опирается,  прежде  всего,  на  авторитет  Курта  Гёделя,  который  не 

ограничился одной лишь верой, а попытался обосновать ее необходимость. Его обоснование 

не только способствовало пониманию природы математики, но еще и тому, в какой степени 

современная  математика  ответственна  за  направление  платонизма.  Философская  позиция 

австрийского логика и математика Курта Гёделя была представлена в его статьях «Расселов-

ская математическая логика» и «Что такое канторовская проблема континуума», где анали-

зируя основные понятия теории множеств, он высказал убеждение, что за ними стоят объек-

ты, данные во внечувственной интуиции. Несмотря на различие математических объектов с 

чувственно  воспринимаемыми  объектами  есть  определенная  аналогия  последних  с  объек-

тами  теории  множеств,  сущность  которых  проявляется  в  таком  факте,  что  аксиомы  теории 

множеств рассматриваются математиками как, несомненно, истинные. «Мне кажется, – раз-

мышлял Гёдель, – что предположения о таких объектах столь же допустимы, как и предпо-

ложения о физических телах, и имеется столь же много причин верить в их существование» 

[11,  с. 217].  Если  согласиться  с  этим  положением,  то  мы  должны  признать,  что  кроме  чув-

ственной реальности, должна существовать еще некоторая идеальная реальность, благодаря 

которой наше сознание способно выявлять аксиомы математики. Поэтому философский ин-

терес  Курта  Гёделя  к  проблеме  обоснования  математики  следует  иметь  в  виду  при  оценке 

того, что сейчас называют «платонизмом Гёделя».  

Отметим двойственность его подхода: с одной стороны, он не сомневался, что возможна 

часть математики, изучающая ее собственные конструкции, а с другой стороны, он не считал 

эту часть наиболее полезной для самой математики и уж тем более не отождествлял ее с ма-

тематикой в целом. Гёделя называют иногда «крайним платонистом» в связи с его высказы-

ванием о том, что «математические сущности» доступны интуиции математика точно так же, 

как  физические  объекты  доступны  чувственному  восприятию.  Такая  способность  внечув-

ственного  восприятия,  которая  связывает  математическое  знание  с  представлением  о  его 

данности, столь же необходима для получения обоснования математики, как и чувственные 

восприятия  физических  объектов  в  естественнонаучном  знании.  Ключевым  моментом  в 

платонистском  направлении  обоснования  математики  является  допущение  существования 

двух областей – физической области материальных тел и абстрактной математической обла-

сти, которая посредством понятий, моделей и структур дает такое понимание, какое только 

возможно достичь, благодаря тому, что Платон приписывал самостоятельное существование 

идеям. «Платон, настаивая на первичности Идеи, тем самым переворачивает всю „наивную‟ 

онтологию, строившуюся на очевидности восприятия, и приписывает Идеям наивысший бы-

тийный  статус»  [12,  с. 64].  Математические  идеи  постигаются  умом  и  именно  в  силу  этого 

они, по мнению Платона, являются предметом истинного математического знания.  



ISSN 2305-8420 

Российский гуманитарный журнал. 2014. Том 3. №6 

475 

Следует  заметить,  что  те,  кто  отвергает  платонизм,  обычно  сосредоточены  на  самой 



критике и не утруждают себя объяснением «рабочего платонизма», которое представляется 

им заблуждением «философски наивных математиков». Под рабочим платонизмом здесь по-

нимается  вера  или  философия  работающего  математика,  то  есть  сила,  превышающая  воз-

можности  логики.  Создатель  теории  бесконечных  множеств  Георг  Кантор,  как  последова-

тель Платона, тоже полагал, что математические идеи существуют в некоем «мире идей», не 

зависящем  от  человека,  что  противоположно  конструктивному  подходу  в  математике.  

В  частности,  Курт  Гёдель  упрекал  интуиционистов  за  признание  математических  объектов 

лишь как конструкций нашего ума, а его знаменитое утверждение о том, что математическая 

интуиция играет точно такую же роль в математическом познании, как и чувственное ощу-

щение в познании физических объектов, можно интерпретировать как принадлежность Гё-

деля к платонизму. Востребованность платонизма Гёделя в философии математики, опреде-

ляется тем, что трудно создать исключительно рациональный образ концепции обоснования 

математики, хотя, с точки зрения философии Гёделя, рационализм как метод мышления не 

требует дополнительной аргументации в его пользу.  

Можно резюмировать, что вера Гёделя в то, что континуум-гипотеза либо истинна, либо 

ложна,  вне  зависимости  от  того,  способны  ли  математики  доказать  ее  или  опровергнуть, 

позволяет  причислить  его  к  приверженцам  платоновской  идеи  в  математике.  Как  можно 

осмыслить вопрос о том, какая из двух аксиоматических математических теорий – аксиомы 

Цермело–Френкеля плюс континуум-гипотеза или те же аксиомы плюс отрицание контину-

ум-гипотезы – является истинной? Признание истинности обеих теорий вызывает сомнение 

в  объективности  математики  и  математического  платонизма.  Выход  из  ситуации  можно 

найти  в  расширительном  платонистском  понимании  сферы  потенциально  осуществимых 

сущностей.  В  решении  дилеммы  определенный  интерес,  по  мнению  В.  В.  Целищева,  пред-

ставляет радикальный вид платонизма, так называемый «полнокровный платонизм». «Наша 

интуиция множества "схвачена" в различных формальных системах, и вполне возможно, что 

постановка  вопросов,  скажем,  о  континуум-гипотезе  требует  существенно  нового  понятия 

множества,  точнее  новых  теоретико-множественных  аксиом,  которые  позволили  бы  устра-

нить кажущуюся парадоксальность существования некатегоричных интерпретаций понятия 

множества» [13, с. 24]. Суть сказанного состоит в том, что при такой постановке вопроса кон-

тинуум-гипотеза  может  быть  истинной  в  одних  моделях  и  ложной  в  других,  а  при  допуще-

нии  неразрешимых  утверждений  полнокровный  платонизм  согласуется  с  математической 

практикой.  

Хотя  полнокровный  платонизм  не  заостряет  проблему  об  априорных  истинах,  априо-

ризм  предполагает  существование  независимого  от  внешнего  опыта  источника  знания,  то 

есть  то,  что  как  раз  демонстрирует  умеренный  платонизм,  а  именно,  что  математика  пред-

ставляет также и априорное знание. Обратим внимание на еще один аспект уместности пла-

тонистских  воззрений,  связанный  с  выявлением  неявных  предпосылок  в  математике.  Вся 

история  становления  математики  показывает,  что  в  ее  развитии  очевидна  тенденция  к 

устранению  неявных  посылок  интуитивных  аспектов  мышления,  используемых  в  доказа-

тельствах  математических  утверждений,  так  как  использование  таких  посылок  не  гаранти-

рует строгости математического доказательства с формальной точки зрения. Например, фи-

лософ  математики  Л.  Б. Султанова  считает:  «В  основе  такого  представления  о  познании  ле-

жит  платоновская  идея  о  том,  что  знание  –  это  припоминание  того,  что  уже  содержится  в 


476 

Liberal Arts in Russia 2014. Vol. 3. No. 6

 

мышлении,  но  неосознанно,  неявно.  Очевидно,  что  с  платоновской  философией  концепция 



неявного  знания  вполне  согласуется»  [14,  с. 107].  Это  еще  один  веский  аргумент  в  пользу 

уместности платонистской компоненты в философии современной математики.  

3.

  Заключение 



О существовании платоновского математического мира говорит хорошо известный фи-

зик, математик и философ Роджер Пенроуз, который считает, что точка зрения Платона об-

ладает  огромной  научной  ценностью  [15].  Он  обосновывает  это  тем,  что  Платон  проводит 

четкое  разделение  между  точными  математическими  объектами  и  теми  приближениями, 

что мы наблюдаем в физическом мире вокруг нас. К тезису о «стихийной платонической вере 

математиков» иногда приводится контраргумент, согласно которому никто пока не поводил 

статистических  исследований  по  этому  поводу.  Возможно,  это  справедливо  только  для  тех 

математиков, которые уже высказали свое мнение, но большинство из них все же не выска-

зывалось. На  это можно  резонно  возразить,  что  не  было  никаких социологических  или  ста-

тистических исследований среди работающих математиков и по другим направлениям в фи-

лософии математики. Однако математика основывается на платонистской вере в том смыс-

ле, что математики не знают, рассуждают они верно или нет, но верят в то, что они делают 

это верно и движутся в нужном и правильном направлении исследований.  

Об  этой  вере  говорит  и  «онтологический  платонизм»,  в  котором  приравнивается  роль 

абстрактных  математических  объектов  роли  физических  объектов.  Выделяют  также  «эпи-

стемологический платонизм», в основе которого лежит представление о том, как познаются 

абстрактные  объекты  математики.  Есть  еще  и  так  называемый  «методологический  плато-

низм»,  для  которого  характерно  широкое  использование  таких  неконструктивных  матема-

тических  методов,  как  закона  исключенного  третьего.  «В  начале  XXI  в.  нам  также  трудно 

обойтись  без  Платона,  как  и  в  XIX  или  XX  столетиях.  <…>  Удивительно,  но  факт:  Платон  из 

своего  IV  в.  до  н.  э.  контролирует  и  наше  время,  точно  так  же,  как  он  контролировал  все 

предшествующие  нам  века»  [16,  с. 10].  Можно  вспомнить  высказывание  А.  Н. Уайтхеда,  что 

«вся западная философия есть комментарий к Платону». Если стать на точку зрения, соглас-

но которой существовать в математике, значит быть свободным от противоречий, то можно 

предположить,  что  разрешение  проблем,  связанных  с  платонистским  существованием,  со-

стоит в его «полной либерализации», преодолевающей трудности обоснования математики. 

Суть платонистской составляющей философии математики состоит еще в том, что именно в 

математической  объективности  и  истинности  заключается  главный  смысл  этой  философ-

ской концепции, которую каждый открывает для себя в соответствии со своими умственны-

ми и душевными силами.  

ЛИТЕРАТУРА

 

1.



  Платон. Тимей // Сочинения в трех томах. М.: Мысль, 1973. Том 3. Часть 1. С. 455–541. 

2.

  Patnam H.  What  is  mathematical  truth?  //  New  Directions  in  the  Philosophy  of  Mathematics:  An  Anthology. 



Prinstone: Princeton University Press, 1998. P. 50–65. 

3.

  Целищев В. В. Математический платонизм // Scholae. Философское антиковедение и классическая тра-



диция. 2014. Т. 8. №2. С. 492–504. 

4.

  Вечтомов Е. М.  Метафизика  математики.  Киров:  Изд-во  Вятского  государственного  гуманитарного 



университета, 2006. 508 с. 

5.

  Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного универси-



тета, 2000. 521 с. 

ISSN 2305-8420 

Российский гуманитарный журнал. 2014. Том 3. №6 

477 

6.

  Мороз В. В.  Диалектика  взаимосвязи  философии  и  математики  в  учении  Платона  //  Ученые  записки. 



Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. №2. С. 25–32. 

7.

  Перминов В. Я. Идея абсолютного обоснования математики с точки зрения теории познания // Исто-



рико-математические исследования. Вторая серия. 2005. Вып. 10. С. 280–299. 

8.

  Панфилов В. А. Философские проблемы математики в учении Платона как основа метафизики гумани-



тарного  знания  и  духовного  творчества  //  Віcник  Дніпропетровського  університету.  Серія  «Історія  і 

філософія науки і техніки». 2009. №1/2. Вип. 17. С. 3–17. 

9.

  Манин Ю. И.  Математика  как  профессия  и  призвание  //  Математика  как  метафора.  М.:  Изд-во 



Московского центра непрерывного математического образования, 2008. С. 125–133. 

10.


  Бернайс П. О платонизме в математике // Платон-математик. М.: Голос, 2011. С. 259–275. 

11.


  Гёдель К. Расселовская  математическая  логика  //  Рассел Б.  Введение  в  математическую  философию. 

М.: Гнозис, 1996. С. 205–232. 

12.

  Егорычев И. Э. Природа математического у Платона // Вестник Московского государственного област-



ного университета. Серия «Философские науки». 2012. №4. С. 61–66. 

13.


  Целищев В. В. Математика как представление знания при расширительном понимании платонизма // 

Философия науки. 2011. №3. С. 16–36. 

14.

  Султанова Л. Б. Роль неявных предпосылок в историческом обосновании математического знания // 



Вопросы философии. 2004. №4. С. 102–115. 

15.


  Пенроуз Р.  Тени  разума:  в  поисках  науки  о  сознании.  Москва:  Институт  компьютерных  исследований, 

2005. 


688 с.  

16.


  Карабущенко П. Л. Платон и платонизм начала XXI в. // Гуманитарные исследования. 2005. №3. С. 10–15. 

Поступила в редакцию 15.12.2014 г. 



478 

Liberal Arts in Russia 2014. Vol. 3. No. 6

 

DOI: 10.15643/libartrus-2014.6.5 



Philosophy and Mathematics in the Teaching of Plato: the 

Development of Idea and Modernity 

© N. V. Mikhailova 

Minsk State Higher Radioengineering College 

62 Nezavisimosti Ave., 220005

 Minsk, Belarus. 

Phone: 8 (017) 331 89 45. 

Email: michailova_mshrc@mail.ru 

It  is  well  known  that  the  largest  philosophers  differently  explain  the  origin  of  mathematics.  This 

question  was  investigated  in  antiquity,  a  substantial  and  decisive  role  in  this  respect  was  played  by  the 

Platonic  doctrine.  Therefore,  discussing  this  issue  the  problem  of  interaction  of  philosophy  and  mathe-

matics  in  the  teachings  of  Plato  should  be  taken  into  consideration.  Many  mathematicians  believe  that 

abstract mathematical objects belong in a certain sense to the world of ideas and that consistency of ob-

jects  and  theories  really  describes  mathematical  reality,  as  Plato  quite  clearly  expressed  his  views  on 

math, according to which mathematical concepts objectively exist as distinct entities between the world 

of ideas and the world of material things. In the context of foundations of mathematics, so called “Gödel’s 

Platonism” is of particular interest. It is shown in the article how Platonic objectification of mathematical 

concepts contributes to the development of modern mathematics by revealing philosophical understand-

ing of the nature of abstraction. To substantiate his point of view, the author draws the works of contem-

porary experts in the field of philosophy of mathematics. 

Keywords: 

philosophy of mathematics, teaching of Plato, Platonism. 

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at edit@libartrus.com if you need translation of the article.  

Please, cite the article: Mikhailova N. V. Philosophy and Mathematics in the Teaching of Plato: the Development of 

Idea and Modernity // Liberal Arts in Russia. 2014. Vol. 3. No. 6. Pp. 468–479. 

REFERENCES 

1.

  Platon. Timei Sochineniya v trekh tomakh. Moscow: Mysl', 1973. Tom 3. Chast' 1. Pp. 455–541. 



2.

  Patnam  H.  New  Directions  in  the  Philosophy  of  Mathematics:  An  Anthology.  Prinstone:  Princeton  University 

Press, 1998. Pp. 50–65. 

3.

  Tselishchev V. V. Scholae. Filosofskoe antikovedenie i klassicheskaya traditsiya. 2014. Vol. 8. No. 2. Pp. 



492–504. 

4.

  Vechtomov E. M. Metafizika matematiki [Metaphysics of Mathematics]. Kirov: Izd-vo Vyat-skogo gosudarstven-



nogo gumanitarnogo universiteta, 2006.  

5.

  Nepeivoda  N.  N.  Prikladnaya  logika  [Applied  Logic].  Novosibirsk:  Izd-vo  Novosibirskogo  gosudarstvennogo 



universiteta, 2000.  

6.

  Moroz V. V. Uchenye zapiski. Elektronnyi nauchnyi zhurnal Kurskogo gosudarstvennogo universiteta. 2014. No. 



2. Pp. 25–32. 

7.

  Perminov V. Ya. Istoriko-matematicheskie issledovaniya. Vtoraya seriya. 2005. No. 10. Pp. 280–299. 



8.

  Panfilov V. A. Vіcnik Dnіpropetrovs'kogo unіversitetu. Serіya «Іstorіya і fіlosofіya nauki і tekhnіki». 2009. No. 

1/2. Vip. 17. Pp. 3–17. 


ISSN 2305-8420 

Российский гуманитарный журнал. 2014. Том 3. №6 

479 

9.

  Manin Yu. I. Matematika kak metafora. Moscow: Izd-vo Moskovskogo tsentra nepreryvnogo matematicheskogo 



obrazovaniya, 2008. Pp. 125–133. 

10.


  Bernais P. Platon-matematik. Moscow: Golos, 2011. Pp. 259–275. 

11.


  Gedel' K. Rassel B. Vvedenie v matematicheskuyu filosofiyu. Moscow: Gnozis, 1996. Pp. 205–232. 

12.


  Egorychev  I.  E.  Vestnik  Moskovskogo  gosudarstvennogo  oblastnogo  universiteta.  Seriya  «Filosofskie  nauki». 

2012. 


No. 4. Pp. 61–66. 

13.


  Tselishchev V. V. Filosofiya nauki. 2011. No. 3. Pp. 16–36. 

14.


  Sultanova L. B. Voprosy filosofii. 2004. No. 4. Pp. 102–115. 

15.


  Penrouz R. Teni razuma: v poiskakh nauki o soznanii [Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of 

Consciousness]. Moskva: Institut komp'yuternykh issledovanii, 2005.  



16.

  Karabushchenko P. L. Gumanitarnye issledovaniya. 2005. No. 3. Pp. 10–15. 



Received 15.12.2014. 



Достарыңызбен бөлісу:


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет