Решение логических задач

В двух соседних городах жили совершенно разные люди. Жители одного города всегда говорили только правду, а обитатели соседнего городишка всегда лгали. И те, и другие часто ходили друг к другу в гости. Поэтому в любом из этих городов можно встретить и правдивого человека, и лжеца. Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав всего один вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали - в город честных или лгунишек.

В классе звучит телефонный звонок в детективное агентство с просьбой найти пакет, оставленный выпускником этой школы в одном из трех кабинетов: математики, физики или информатики.

3 ученика (оперативные работники)отправляются в разные кабинеты и приносят следующие ответы

• 
  В кабинете информатики учитель ответил: пакет не у нас и не в кабинете математики
  
• 
  В кабинете математики учитель ответил: пакет не в кабинете информатики, пакет в кабинете физики
  
• 
  В кабинете физики учитель ответил: пакет не у нас, пакет в кабинете информатики
  

Ответ: Пакет находится в кабинете информатики.

Три школьника, остававшиеся в классе на перемене, были вызваны директору по поводу разбитого в это время окна. На вопрос директора, кто и как разбил окно в классе, мальчики ответили следующее:

• 
  Витя: «Рома бросил в меня портфелем, а попал в окно…»
  
• 
  Рома: «Сергей разбил футбольным мячом»
  
• 
  Сергей: «Разбил Витя, и никакого мяча не было!»
  

Решение задачи с помощью алгебры логики:

Введем обозначения:

Р – окно разбил Рома П – окно разбито портфелем

С – окно разбил Сергей М – окно разбито мячом

В – окно разбил Витя

Высказывания: Витя: Р \/ П Составим логическое выражение:

Рома: С \/ М (Р \/ П) · (С \/ М) · (В \/ М)=1

Сергей: В \/ М

Упростим логическое выражение:

(Р \/ П) · (С \/ М) · (В \/ М)=1

(Р·С \/ Р·М \/ П·С \/ П· М ) · (В \/ М)= (Р·М \/ П·С) · (В \/ М)= (Р·М·В \/ Р·М ·М \/

\/ П·С·В \/ П·С· М)= П·С· М

Вывод: Разбил окно Сергей портфелем

В классе есть пять первоклассников: Аня, Вова, Вика, Света и Сережа.

1. Тот, кто любит Вову - дружит со Светой.

2. Те, кого Вика считает своими врагами зовут Аня и Света. Зато Вика дружит с Вовой и Сережей.

3. Вова дружит с Викой, Аней и Сережей, но не дружит со Светой.
Как зовут девочку, которая любит Вову?

Решение задачи возможно методом рассуждений или табличным методом:

Ответ: Аня

Задача 5: Кто играет в шахматы?

Определите, кто из трёх мальчиков А, Б и В играет в шахматы, если известно:

1) из А и Б один играет, один - не играет;

2) если играет А, то играет и Б;

3) А и В оба играют или оба не играют.

Решение задачи с помощью алгебры логики:

Высказывания:

1. А⊕Б

3. А↔В

(А⊕Б) ·(А→Б) ·(А↔В)=(неА· Б+ А· неБ) · (А ·В+ неА· неВ)=1

После упрощения логического выражения получится ответ: В шахматы играет мальчик Б.

Задача 6. Прогноз синоптиков

• 
  Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
  
• 
  Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
  
• 
  Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
  

Решение задачи с помощью алгебры логики:

В –будет ветер Д – дождь П - пасмурно

Высказывания:

1. не В → П· не Д

2. Д→ П· не В

3. П → Д· не В

Составим логическое выражение:

(не В → П·не Д) ·(Д→ П·не В)·(П → Д·не В)=1

После упрощения логического выражения получится ответ: Погода будет солнечная без дождя. Но с ветром

В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка – Антипов(А), Борисов(Б), Цветков(С) и Дмитриев(Д). Известно:

• 
  Если А нарушил правила обмена валюты, то и Б нарушил;
  
• 
  Если Б нарушил, то и С нарушил или А не нарушил;
  
• 
  Если Д не нарушил, то и С нарушил и А не нарушил;
  
• 
  Если Д нарушил, то и А нарушил.
  

Решение задачи с помощью алгебры логики:

Обозначим через А, В, С и Д высказывания, состоящие в том, что Антипов, Борисов, Цветков и Дмитриев соответственно нарушили правила обмена валюты. Тогда известные факты можно записать так:

АàВ= не А+В;

Вà(С+не А)=не В +С+не А;

Не Дà(А·не С)=Д+(А·не С);

ДàА=не Д+А.

Итоговое высказывание (оно должно быть истинным) является конъюнкцией четырех высказываний:

(АàВ) ·( Вà(С+не А)) ·(неДà(А·не С))·(ДàА)=1

После упрощения логического выражения получится ответ: А·В·С·Д=1 – правила обмена нарушили все четверо.

1. Парадокс Протагора

Один из самых древних парадоксов рассказывает об учителе греческого права Протагоре, взявшем в ученики бедного, но весьма способного юношу и согласившемся учить его бесплатно при условии, что когда тот закончит курс обучения и выиграет свой первый судебный процесс, то уплатит Протагору определенную сумму. Ученик принял условия Протагора, но, завершив свое образование, не стал выступать в суде. По прошествии некоторого времени Протагор подал на своего ученика в суд, требуя уплаты обещанной ему суммы. Вот какие показания дали Протагор и его ученик на суде.
Ученик. Если я выиграю этот процесс, то по определению я не должен буду платить Протагору ничего. Если же я проиграю этот процесс, то тем самым я не выиграю свой первый судебный процесс, а по уговору я должен платить Протагору лишь после того, как выиграю свой первый судебный процесс. Следовательно, выиграю я этот судебный процесс или проиграю, платить мне все равно не придется.

Протагор. Если мой бывший ученик проиграет этот судебный процесс, то по определению он должен будет уплатить мне соответствующую сумму (ведь именно ради уплаты причитающейся мне суммы я и возбудил процесс). Если же мой бывший ученик выиграет этот судебный процесс, то тем самым он выиграет свой первый судебный процесс и по уговору должен будет уплатить мне долг. Следовательно, выиграет он этот судебный процесс или проиграет, но платить ему придется все равно.

Кто прав: Протагор или его ученик?

Лучшее из известных решений этого парадокса: Суд должен вынести решение в пользу ученика, то есть ученик не должен будет платить Протагору, так как к моменту начала процесса ученик еще не выиграл свой первый судебный процесс. Когда же суд окончится, то ученик по уговору будет должен Протагору какую-то сумму денег. Поэтому Протагор должен вернуться в суд и возбудить против ученика второе дело. На этот раз суду придется вынести решение в пользу Протагора, так как к началу второго процесса ученик уже выиграет свой первый судебный процесс.

·  Пение в последующую минуту молчит, если только в предыдущую минуту не было игры на Органе при молчащем Смехе или наоборот – Орган и Смех звучали. Если же либо звучал Орган, либо звучал Смех, то и Пение не молчит;

·  Что касается Смеха, то, если в предыдущую минуту горел Ладан, Смех будет звучать или молчать в зависимости от того, звучало или молчало Пение (Смех копирует Пение минутой позже). Если, однако, Ладан не горел, Смех будет делать противоположное тому, что делало Пение.

В ту минуту, когда я пишу Вам это письмо, Смех и Пение звучат вместе. Прошу Вас сообщить мне, какие действия с Ладаном и Органом должен сделать я, чтобы установить и поддерживать тишину в доме?

Решение

П - звучит Пение С – звучит Смех О –играть на Органе Л – зажечь Ладан

Тогда известные факты можно записать так:

1.(О↔С)→не П

2.(О⊕С) → П

3.Л·П→С

5.неЛ·неП→ С

6.неЛ·П→ неС

Итоговое высказывание (оно должно быть истинным) является конъюнкцией всех высказываний:

((О↔С)→неП)·((О⊕С)→П)·(Л·П→С)·(Л·неП→неС)·(неЛ·неП→С)·(неЛ·П→ неС)=1

После упрощения получим следующее высказывание:

П·неС·О·неЛ+ С·П·неО·Л+ неП·неС·неО·Л +неП·С·О·неЛ =1

Вывод: После той минуты, когда Смех и Пение звучат вместе, надо зажечь Ладан и не играть на Органе, тогда будет тишина

Информационные ресурсы:

1.  А. А.Чернов, А. Ф.Чернов Информатика для 10-11 классов: сборник элективных курсов –Волгоград: Учитель, 2006

2.  Босова Л. Л. Занимательные задачи по информатике – М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2005

3.  http://ntl. /logic/smullyan/lady/p2.html