Разработка урока по геометрии в 11 классе по теме «Объем конуса»

«Средняя общеобразовательная школа №198»

Разработал учитель математики

МОУ «СОШ №198» Воронина Н.Н.

ЗАТО Северск – 2010г.

- Определение конуса

- Элементы конуса

- Сечения конуса

- Площадь поверхности конуса.
IV. Историческая справка.

Конус в переводе с греческого означает « сосновая шишка ». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда ( 287 – 212 гг. до н.э. ) « О методе » , в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470 – 380 гг. до н.э.) –древне-греческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона ( 428 – 348 гг. до н.э. ) Платон был учеником Сократа ( 470 – 399 гг. до н.э. ). Он в 387 г. до н.э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий В Академию, читал надпись : « Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона принадлежит исследование свойств призмы, цилиндра и конуса; изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях принадлежит Аполлонию Пергскому (260 – 170 гг. до н.э. ) – ученику Евклида ( III в. до н.э. ), который создал великий труд из 15 книг под названием « Начала». В ХII книге «Начал» Евклида содержатся следующие теоремы:

1) Объем конуса равен одной трети объема цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.

2) Отношение объемов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.

3) Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.

Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор. Непосредственное вычисление объема конуса дает Герон Александрийский.

Рассмотрим конус, у которого радиус основания r, высота h. Введем ось ОХ с началом в вершине конуса, вдоль его оси, и проведем произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ.

Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, что мы использовали при выводе объема пирамиды. (Для продолжения доказательства к доске приглашается ученик.) Получаем :




2 способ: Эту же формулу можно получить используя предел к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном увеличении числа сторон ее основания.

V = V=

Проведите доказательство самостоятельно.

(Как правило, несколько учеников быстро справляются с заданием и один из них записывает вывод формулы на доске.)


.

VI. Закрепление :
1) Лабораторная работа : Найти , пользуясь чертежом, объем фигуры.( по вариантам)

( на доске в другом конце класса выполняют два ученика задание, остальные

самостоятельно в тетрадях, затем проверка полученных результатов)


40

2) Задача 1. Послушайте старинную легенду восточных народов, рассказанную А.С.Пушкиным в

« Скупом рыцаре».

«…Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу.

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.»
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить эту затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

Решение: Пусть в войске 100000 воинов.

Чтобы земля не осыпалась, угол откоса должен быть меньше 45⁰.

Если взять угол меньше 45⁰, получим еще меньшую высоту.

уклон 1 : 1,5. Сколько потребуется вагонов для перевозки этого угля; грузоподъем-

ность вагона 25т. ( плотность угля 1300 кг/м

решение : R= 4∙1,5 = 6(м) V = V =

m = V∙ ρ m = 48∙ 3,14 ∙ 1300 = 195936 ( кг )

n = m : 25 = 195,936 : 25 8 ( вагонов)
VII. Дополнительная информация о конусе.
1. В биологии верхушку побега и корня растений состоящую из клеток образовательной ткани, называют «конусом нарастания». Деление клеток «конуса нарастания» обеспечивает рост стебля и корня в длину. Этот рост сопровождается ветвлением.

2. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2 - 16 см). Конусов свыше 500 видов. Укус конусов болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используют для изготовления украшений и сувениров.

3. «Конус выноса» - понятие в геологии. Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенных горными реками на предгорную равнину.

4. Конусообразный угол, вырезанный в шаре, называется «телесный угол» и используется в физике. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен.

5. Гром, гроза, молния. Эти явления природы хорошо нам знакомы. Больше всего гроз бывает в Индонезии и Центральной Америке. Здесь число дней в году с грозами превосходит 200. И именно здесь чаще всего погибают от разрядов молний.

Для предохранения зданий, промышленных сооружений от разрушительного действия молнии ставится молниеотвод, или, как его называют, громоотвод, в результате чего образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса.

1. 
   Геометрия. Учебник для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение,1999.
   
2. 
   Геометрия . Учебник для 9-11кл./ К.С. Барыбин.-М.: Просвещение,1972.
   
3. 
   История математики в школе . Г.И. Глейзер. –М.: Просвещение, 1982.
   
4. 
   Интернет ресурсы