Программа для студентов 3-го курса фнп специальность Физика открытых нелинейных систем 1

Нелинейные волны в среде без дисперсии. Уравнение простой волны. Укручение и опрокидывание волн.

Среда с диссипацией: уравнение Бюргерса. Ударные волны.

Среда с высокочастотной дисперсией: уравнение Кортевега–де Вриза (КдВ). Уединенные волны и солитоны. Среда с дисперсией в области низких частот: нелинейное уравнение Клейна–Гордона. Среда с дисперсией и диссипацией: уравнение КдВ–Бюргерса.

Рапространение огибающей волнового пакета: нелинейное уравнение Шредингера. Солитоны огибающей.
2. Нелинейные волны в средах без дисперсии.

Уравнение простой волны. Решение методом характеристик. Переменные Эйлера и переменные Лагранжа. Поток невзаимодействующих частиц. О группировке электронов в пролетном клистроне. Решение Римана. Графический анализ опрокидывания профиля волны. Распространение гармонического сигнала. Спектр опрокидывающейся волны: решение Бесселя–Фубини.

Образование разрывов в простой волне. Определение координаты разрыва. Граничное условие на разрыве. Истинные и слабые разрывы. Динамика амплитуды разрыва. Пилообразная волна и ее спектр. Распространение треугольного импульса. Распространение биполярного импульса: N-волна. Взаимодействие разрывов.

Общий случай системы квазилинейнных гиперболических уравнений. Критерий гиперболичности. Примеры гиперболических систем. Простые волны в газовой динамике. Инварианты Римана. Волны на поверхности «мелкой воды». Задача о разрушении плотины. Ионный звук в плазме. Волны в автомобильном потоке. Граничные условия на разрыве в общем случае и их связь с законами сохранения. Законы сохранения уравнений «мелкой воды». Диссипация энергии на разрыве.

Уравнение Бюргерса. Стационарная ударная волна. Преобразование Коула–Хопфа. Распространение периодического сигнала: решение Хохлова и его спектр (решение Фэя). Распространение импульсов: одиночный горб, N–волна. Слияние ударных волн. Автомодельные решения.

Ударные волны. Задача о сильном точечном взрыве в атмосфере и ее решение при помощи метода размерностей. Примеры ударных волн естественного и искусственного происхождения. Об ударных волнах в космосе.

3. Нелинейные волны в диспергирующих средах

Дж. Скотт Рассел и открытие солитона. Проблема Ферми–Пасты–Улама (ФПУ). Ее связь с уравнениями Буссинеска и Кортевега–де Вриза. Возвращаемость ФПУ. Работа Забуски и Крускала и взаимодействие солитонов.

Стационарные нелинейные волны. Уравнение КдВ: кноидальные волны и солитоны. Модифицированное уравнение КдВ. Уравнение Буссинеска. Стационарные ударные волны в среде с диссипацией и дисперсией: уравнение КдВ–Бюргерса. Уравнение Sin–Гордона: стационарные решения и физические примеры. Стационарные ленгмюровские и ионно-акустические волны в плазме. Нелинейные волны пространственного заряда в электронном пучке. Электромагнитные волны в нелинейной диэлектрической среде. Стационарные волны в нелинейной радиотехнической цепочке.

Примеры получения уравнения КдВ и иных «длинноволновых» уравнений в конкретных физических задачах. Ионно-акустические волны в плазме. Гравитационные волны на поверхности мелкой воды. Ленгмюровские волны в тонком плазменном цилиндре. Электромагнитные волны в нелинейных линиях передачи. Газовая динамика и уравнение Бюргерса.

Точные методы интегрирования нелинейных волновых уравнений. Преобразование Миуры–Гарднера и законы сохранения уравнения КдВ. О методе обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ. Многосолитонные решения. Понятие о полной интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных. Другие точные методы решения солитонных уравнений: метод Хироты; преобразования Бэклунда.

Модулированные волны в нелинейных средах. Нелинейное дисперсионное соотношение, законы сохранения волнового числа и волнового действия. Критерий Лайтхилла. Модуляционная неустойчивость (неустойчивость Бенджамена–Фейра). Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Метод многих масштабов. Неустойчивость пространственно-однородного решения. Решение в виде солитона огибающей. «Светлые» и «темные» солитоны.

Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике. Солитоны в волоконных световодах. Самофокусировка света.

Трехволновой резонанс в квадратично-нелинейной среде. Уравнения трехволнового взаимодействия. Распадная (параметрическая) неустойчивость. Взрывная неустойчивость.

1. 
   Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000.
   
2. 
   Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.
   
3. 
   Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984 (1-е издание), 1992 (2-е издание), 2001 (3-е издание).
   
4. 
   Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.