Практическая работа № Моделирование случайных процессов в экономических системах с дискретными состояниями и непрерывным временем Задания практической работы рассчитаны на 2 часа аудиторных занятий

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ

INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE

Задания практической работы рассчитаны на 2 часа аудиторных занятий. В конце работы приведены индивидуальные задания для самостоятельной работы, выполняемые по указанию преподавателя, рассчитанные на 2 часа самостоятельной работы. Практическая работа опирается на материал лекции 5.

• 
  Имитация простейшего потока событий с заданной интенсивностью;
  
• 
  моделирование случайных величин с заданным законом распределения;
  
• 
  имитация функционирования экономической системы с простейшими потоками событий.
  

Создайте на своем сетевом диске в папке ИМЭП/Практика папку Занятие4.

По результатам занятия в папке будут сохранены два проекта.

Модель системы «Гараж» с непрерывным потоками отказов и восстановлений.

Постановка задачи

Постановка задачи выполнена на лекции 5.

Построить модель, реализующую описанный процесс.

Определить финальные вероятности установившегося режима функционирования системы.

Указанную задачу можно реализовать двумя способами:

• 
  с помощью системы дифференциальных уравнений Колмогорова;
  
• 
  с помощью имитации простейших потоков.
  

Построить модель процесса двумя способами, сравнить результаты имитационной и теоретической моделей и сделать вывод о правильности подхода к имитации простейшего потока.

Задание 4.1. ДУ Колмогорова

Разработать модель системы «Гараж», основанную на ДУ Колмогорова.

1. 
   Создайте новый проект и сохраните его с именем ГаражНепрДУ. Выберите вид модели – Непрерывный элементарный объект.
   
2. 
   Опишите параметры класса – интенсивности потоков отказов и восстановлений (рис. 1).
   
3. 
   Опишите внутренние переменные класса – вероятности быть исправной или неисправной (рис. 1).
   
4. 
   Присвойте этим переменным некоторые начальные значения. В дальнейшем вы можете провести эксперименты с моделью и сделать вывод, как влияют начальные вероятности на финальные вероятности состояний.
   

5. 
   Опишите дифференциальные уравнения Колмогорова (рис. 1).
   
6. 
   Запустите модель.
   
7. 
   Проведите эксперименты и определите:
   

• 
  финальные вероятности процесса;
  
• 
  влияние начальных вероятностей состояний на финальные вероятности.
  

Задание 4.2. Имитация простейших потоков

Создать имитационную модель системы «Гараж», в которой функционируют два простейших потока – поток отказов и поток восстановлений. Найти финальные вероятности. Сравнить результаты с моделью, построенной в задании 4.1.

Технология работы

1. 
   Создайте новый проект и сохраните его с именем ГаражНепрИмит. Выберите вид модели – Элементарный гибридный объект.
   
2. 
   Опишите параметры класса:
   

• 
  интенсивности потоков отказов и восстановлений;
  
• 
  начальную вероятность быть исправным (рис. 2).
  

3. 
   Опишите внутренние переменные класса:
   

• 
  Индикатор нахождения в состоянии k (может принимать значения 1 или 2);
  
• 
  Время нахождения в состоянии (t 1, t 2);
  
• 
  Переменную для равномерно распределенного случайного числа (ksi).
  

4. 
   Создайте карту поведения и в ней опишите состояния Начальник, Исправен, Неисправен (рис. 3).
   
5. 
   Опишите входные действия для состояния Начало (рис. 3).– генерируется случайное равномерно распределенное число ksi для определения направления перехода по начальной вероятности либо в состояние Исправен, либо в состояние Неисправен.
   

6. Опишите входные действия для состояния Исправен (рис. 4):

• 
  индикатору нахождения в состояние k присвоить значение 1;
  
• 
  сгенерировать случайное равномерно распределенное число ksi для вычисления случайной величины, распределенной по показательному закону;
  
• 
  вычислить случайный интервал времени t 1 перехода в состояние Неисправен по формуле, полученной на лекции 5:
  

7. 
   Аналогично опишите входные действия для состояния Неисправен.
   
8. 
   Опишите условия перехода из состояния Неисправен в состояние Исправен.
   
9. 
   Скомпилируйте модель.
   
10. 
    Запустите модель. Проследите по временной диаграмме переход из состояния в состояние (рис. 5).
    

11. 
    Включите в отчет описание модели и диаграмму процесса.
    

При моделировании цепи Маркова (пр. раб. 3) мы вычисляли вероятность нахождения в том или ином состоянии как отношение количества переходов в данное состояние к общему числу переходов, т. к. эти переходы происходили через одинаковые промежутки времени. В непрерывной цепи Маркова так поступать нельзя, т. к. длительность нахождения в каждом состоянии является случайным числом. Поэтому используется следующий алгоритм вычисления вероятности нахождения в состояниях:

1. 
   Вычисляется суммарное время пребывания в состоянии Исправен.
   
2. 
   Вычисляется суммарное время пребывания в состоянии Неисправен.
   
3. 
   Вычисляется суммарное время процесса.
   
4. 
   Вероятность нахождения в состоянии вычисляется как отношение времени нахождения в состоянии к общей длительности процесса.
   

1. 
   Добавьте внутренние переменные (рис. 6).
   

2.  Опишите входные действия в состоянии (рис. 7).

3. 
   Скомпилируйте модель и запустите. Постройте временную диаграмму для наблюдения за изменением вероятностей.
   
4. 
   Проведите эксперименты и определите:
   

• 
  финальные вероятности процесса;
  
• 
  влияние начальных вероятностей состояний на финальные вероятности.
  

5. 
   Проведите эксперименты и сравните результаты расчетов по теоретической и имитационной моделям. Включите в отчет скриншоты построенных моделей, диаграмму процесса в переходный период и диаграмму установившегося процесса (рис. 8, 9), таблицу сравнительных результатов.
   

Задание 4.4. Для самостоятельной работы

Граф экономической системы имеет вид, как показано на рисунке. Заданы интенсивности переходов из состояния в состояние. Записать дифференциальные уравнения Колмогорова. Найти финальные вероятности теоретически.

Построить две модели процесса функционирования системы:

Модель 1 – путем интегрирования системы ДУ;

Модель 2 – путем составления имитационной модели.

Определить финальные вероятности на моделях.

Составить отчет о проделанной работе в электронном виде. Включить в отчет:

1. 
   исходный граф системы;
   
2. 
   исходные данные;
   
3. 
   систему ДифУр-й;
   
4. 
   систему для определения финальных вероятностей теоретически;
   
5. 
   скриншоты описания класса, карты поведения, временную диаграмму установившегося процесса;
   
6. 
   результаты моделирования в виде таблицы:
   

 

Вариант 2    

 

Вариант 4