Ответы и решения к заданиям «Математического дозора -2018» Задание №1



Pdf көрінісі
Дата01.03.2019
өлшемі84.46 Kb.

Ответы и решения к заданиям  

«Математического дозора -2018» 

Задание № 1  

Первый  учебник  по  математике  в  России  «Арифметика,  сиречь  наука 



числительная» был написан по поручению Петра I учителем математики школы 

математических  и  навигационных  наук  Леонтием  Филипповичем  Магницким  в 

1703  году.  Решите  задачу  из  этого  учебника:  «В  жаркий  день  6  косцов  выпили 

бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой 

же бочонок кваса?»  

Решение: 

6  косцов  выпивают  этот  бочонок  за  8  часов,  значит,  одному  косцу  на  это 

потребовалось  бы  в  6  раз  больше  времени,  а  именно  8

6=48  (часов). 



Соответственно,  чтобы  выпить  этот  же  бочонок  за  3  часа  потребуется  48:3  =  16 

(косцов). 

Ответ: 16 косцов. 

Задание № 2  

Изобретателем диаграмм считается шотландский инженер Уильям Плейфер (1759-



1823).  На  представленной  ниже  первой  в  мире  диаграмме  отражено  изменение 

торгового  баланса  экспорта  (красная  линия)  и  импорта  (оранжевая  линия). 

Определите по диаграмме, сколько лет линия экспорта находилась не ниже линии 

импорта.  

 

Решение:  



На диаграмме видно, что в 1753 году линии экспорта и импорта пересекаются, то 

есть имеют равные значения. Начиная с этого года, линия экспорта проходит не 

ниже линии импорта, то есть выше или на том же уровне: 1780 – 1753 = 27 (лет) -  

выше, а в 1753 году – на том же уровне, всего 28 лет.  

Ответ: 28 лет. 


Задание № 3  

Немецкий  математик  Давид  Гильберт  в  1900  году  создал  список  из  23 

кардинальных  нерешенных  проблем  математики.  Количество  проблемных  задач 

по основным разделам математики выражено числовыми выражениями. Выберите 

номер  раздела  математики,  к  которому  Гильберт  отнес  наибольшее  количество 

проблемных задач. 

1)

 

математический анализ:  



112

4

 6



2

 

2)



 

геометрия: 

2

4

 5



4

2

 



3)

 

алгебра и теория чисел:  2



3

 +3


4)

 



теория вероятностей: 

 225 –


42

3

 



Решение: 

Найдем значения выражений: 

1)

 

 



112

4

 6



2

 =  28 36 =  64 = 8  

 

2)

 



2

4

 5



4

2

=



16 5

1

  



 

= 5; 


 

3)

 



2

3

 +3



=8 +1 = 9; 

 

4)

 



 225 –

42

3



= 15

 – 14 = 1. 

Сравнив  значения  выражений,    видим,  что  разделом    математики,  к  которому 

Гильберт  отнес  наибольшее  количество  проблемных  задач,  является  алгебра  и 

теория чисел, т.е. номер 3). 

Ответ: 3. 



Задание № 4  

Первая  в  мире  физико-математическая  школа  для  одаренных  детей  была 

открыта  23  августа  1963  года  в  Академгородке  города  Новосибирска.  Сколько 

юбилейных дат отпраздновала ФМШ (ныне СУНЦ НГУ) с момента открытия до 1 

апреля  2018  года,  если  юбилеи  отмечаются  каждые  5  лет  в  день  основания 

школы? 


Решение: 

С  23  августа  1963  года  по  23  августа  2017  года  ФМШ  (ныне  СУНЦ  НГУ) 

отметила (2017 – 1963) : 5 = 54 : 5 = 10 (ост. 4) – юбилеев. В 2018 году 23 августа 

будет отмечаться 55 годовщина открытия ФМШ. 

Ответ: 10. 

 


Задание № 5  

Главный трактат древнегреческого математика Евклида «Начала», написанный 

около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии и 

теории чисел, включает в себя 13 книг. Из них 6 книг по геометрии на плоскости 

(планиметрии),  книг  по  геометрии  в  пространстве  (стереометрии)  в  2  раза 

меньше, остальные книги посвящены арифметике и теории чисел. Во сколько раз 

книг по геометрии в «Началах» больше, чем книг по арифметике и теории чисел?  

Решение: 

1)

 



6 : 2 = 3 (книги) – по геометри в пространстве  

2)

 



6   3 = 9 (книг) – всего по геометрии  

3)

 



13 – 9 = 4 (книги) – по арифметике и теории чисел  

4)

 



9 : 4 = 2,25 (раз) – во столько раз книг по геометрии в «Началах» больше, 

чем книг по арифметике и теории чисел. 

Ответ: в 2,25 раз. 

Задание № 6  

Выберите верный ответ к задаче  Л. Н. Толстого: «В противоположных углах по 

одной стене комнаты длиной и шириной 4 аршина и высотой 5 аршин сидят муха 

и паук, муха – на полтора аршина от пола, паук – на полтора аршина от потолка. 

Какое между ними кратчайшее расстояние в аршинах, которое мог бы проползти 

паук, чтобы достать муху?»: 

 

Решение: 



Выполним  дополнительные  построения  на  чертеже:  кратчайший  путь  паука  до 

мухи  –  отрезок  РМ,  отрезок  МК,  перпендикулярный  противоположной  стене. 

Получившийся треугольник РКМ – прямоугольный с гипотенузой РМ.   

РК = 5 – 1,5 – 1,5 = 2 (аршина). По теореме Пифагора: РМ =  РК

 

 МК

 

 

РМ =  2

2

 4



2

 =

 20=2 5 (аршина). Это значение стоит под номером 2). 



 

 

 



 

 

 



Ответ: 2. 



М 

Р 



1,5 

1,5 


К 

Задание № 7  

На  парапете  Эйфелевой  башни  в  Париже  выгравированы имена  72  выдающихся 

французских  учёных  и  инженеров  XVIII  –  XIX  веков.  В  этом  списке  23 

математика:  Жозеф-Луи  Лагранж,  Огюстен  Луи  Коши,  Симеон  Дени  Пуассон  и 

другие.  Какова  вероятность  того,  что  выбранное  случайным  образом  имя  из 

списка не принадлежит математику? Ответ округлите до сотых. 

Решение: 

В списке из 72 выдающихся французских учёных и инженеров XVIII – XIX веков 

23  математика,  значит,  не  математиков  (72  –  23)  =  49.  Вероятность  того,  что 

выбранное случайным образом имя из списка не принадлежит математику, равна 

49

72

 = 0,680(5)   0,68 



  

Ответ: 0,68. 



Задание № 8  

Решите задачу Древнего Китая (II век): «Дикая утка от южного моря до северного 

моря летит 6 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 10 дней. 

Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они 

встретятся?».  

Решение: 

Обозначим расстояние между южным и северным морями S. Тогда скорость утки 

равна 


 

6

, а гуся 



 

10

.  Скорость сближения птиц равна (



 

6

   



 

10

), а время до встречи 



равно    S : 

(

 



6

   


 

10

)=   : 



30

=



30

8

=



3,75

 

(дней). 



Ответ: через 3,75 дней. 

Задание № 9  

Сибирское  отделение  Академии  наук  СССР,  созданное  в  1957  году  в 

Академгородке  г.  Новосибирска,  возглавил  советский  математик  и  механик 

Михаил  Алексеевич  Лаврентьев.  Главную  идею  научного  центра  –  гармоничное 

триединство  науки,  кадров  и  производства  –  обитатели 

Академгородка  назвали  «треугольником  Лаврентьева». 

Геометрической  моделью  этой  идеи  может  служить 

равносторонний треугольник.  

Решите  задачу:  «Медианы,  проведенные  из  вершин  N  и  P 

равностороннего треугольника NKP, пересекаются в точке А

Найдите величину угла NAP в градусах».  

Решение:  В  равностороннем  треугольнике  все  углы  равны  по  60

0

.  Так  как 



медианы  в  равностороннем  треугольнике  являются  биссектрисами  углов,  то  



ANP 



APN = 60

0

: 2 = 30



0

.  По теореме о сумме углов треугольника: 



ANP 



APN + 



NAP = 180

0

  откуда 





NAP = 180

0

 – 30



 – 30


0

=120


0

Ответ: 120. 



Задание № 10  

Российский  математик,  академик  РАН  СССР,  автор  школьных  учебников 

математики Андрей Николаевич Колмогоров (1903 – 1987) уже в детстве составлял 

арифметические  задачи  и  публиковал  их  в  школьном  рукописном  журнале.  Вот 

одна  из  них:  «Имеется  пуговица  с  четырьмя  дырочками.  Для  ее  закрепления 

достаточно  протянуть  нить,  по  крайней  мере,  через  две  дырочки.  Сколькими 

способами  можно  закрепить  пуговицу?»  Решите  данную  задачу  при  условии 

использования для закрепления пуговицы всех 4-х дырочек.  

 

Решение: 



Разными  способами  будем  считать  разные  фигуры  без  учета 

поворотов  и  отражений.  Для  закрепления  пуговицы  с 

использованием всех 4-х дырочек можно:  

 

1) пришить нитью через две пары дырочек, сделав 2 шва: 2 способа. 



 

 

2) пришить нитью через 4 дырочки, сделав 3 шва: 3 способа. 



 

 

3) пришить нитью через 4 дырочки, сделав 4 шва: 4 способа. 



 

 

4)  пришить нитью через 4 дырочки, сделав 5 швов: 2 способа. 



 

 

5)



 

 пришить нитью через 4 дырочки, сделав 6 швов: 1 способ. 

 

 

Всего 12 способов. 



Ответ: 12 способами. 

 

Задание № 11  

Яков  Исидорович  Перельман  (1882  –  1942),  российский  ученый,  популяризатор 

физико-математических  наук,  написал  свыше  100  книг  («Занимательная 

математика»,  «Занимательная  алгебра»  и  др.).  Найдите  количество  языков,  на 

которые переведены труды ученого, если оно является корнем уравнения: 



 

2

х

6

 = 4  


Решение: 

 

2



х

6

 = 4   



 2

х

6

=16  



 2

х

6



2

4

   



х

6

=4  х=24. 



Ответ: 24 языка. 

Задание № 12  

Знаменитое  изречение:  «Книга  Природы  написана  языком  математики» 

принадлежит  итальянскому  ученому  Галилео  Галилею  (1564  –1642).  Решение 

математических задач всегда связано с переводом данных и отношений в условии 

на  математический  язык.  Для  задачи  из  учебника  «Арифметика»  Леонтия 

Филипповича  Магницкого:  «Спросил  некто  учителя:  «Скажи,  сколько  у  тебя  в 

классе  учеников,  так  хочу  отдать  тебе  в  учение  своего  сына».  Учитель  ответил: 

«Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и пол столько, и четвертая 

часть,  и  твой  сын,  тогда  у  меня  учеников  100».  Спрашивается,  сколько  было  у 

учителя учеников?» выберите модель, не соответствующую переводу условия на 

математический язык:  

 

1)

 



100

 - 1


1 1  

1

2



   

1

4



 

2)



 

(4+4+2+1) х = 100-1; 



 

3)

 



х х + 0,5х + 0,25х = 100 + 1; 

4)

 



         

х                  х           

1

2



х   

1

4



х 1

 

 



 

                          

100

 

Решение: 



1)

 

Выражение  (100-1)  соответствует  количеству  учеников  без  сына  знакомого 



учителя.  Если  количество  учеников  у  учителя  примем  за  одну  часть,  то 

выражение в знаменателе обозначает количество частей, описываемое учителем: 

«Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и пол столько, и четвертая 

часть». Разделив выражение (100-1) на количество частей (1   1   ½   ¼) получим 

количество  учеников  в  одной  части,  то  есть  количество  учеников  у  учителя. 

Таким образом, выражение соответствует условию задачи. 

 

2)

 



За  х  примем  ¼  часть  количества  учеников  у  учителя.  Тогда  выражение 

(4 4 2 1)  соответствует  количеству  частей,  а  все  выраженние  в  левой  части 

уравнения обозначает количество учеников, описываемое учителем: «Если придет 

еще учеников столько же, сколько имею, и пол столько, и четвертая часть», что 



равно  100  без  одного  ученика,  то  есть  значению  выражнения  в  правой  части 

уравнения. Таким образом, уравнение является моделью условия задачи. 

 

3)

 



За  х  примем  количество  учеников  у  учителя.  Тогда  выражение  в  левой  части 

уравнения    обозначает  количество  учеников,  описываемое  учителем:  «Если 

придет  еще  учеников  столько  же,  сколько  имею,  и  пол  столько,  и  четвертая 

часть»,  что  равно  100  без  одного  ученика.  В  правой  же  части  выражение  не 

соответствует данному условию. Таким образом, уравнение не является моделью 

условия задачи. 

 

4)

 



Чертеж является моделью условия задачи при обозначении  через х количества 

учеников у учителя. 

Ответ: 3. 

Задание № 13  

Решите  задачу,  обнаруженную  на  глиняной  табличке  Древнего  Вавилона  (около 

1950  лет  до  н.э.):  «Найти  длину  шеста,  сначала  вертикально  прислоненного  к 

стене, затем смещенного так, что его верхний конец опустился на 3 локтя, причем 

нижний конец отступил от стены на 9 локтей». 

 

Решение: 



Обозначим через х длину шеста в локтях. Тогда из прямоугольного треугольника 

по теореме Пифагора для гипотенузы х составим и решим уравнение:  



х

2

=(х–3)



2

+9

2



 ;   

х

2

=х



2

–6х+9+ 9

2

;  


6х=90;  

х=15. 

Ответ: 15 локтей. 



 

Задание № 14  

Для  определения  площади  четырехугольника  математики  Древнего  Вавилона 

брали произведение полуcумм противоположных сторон. Во сколько раз площадь 

ромба  со  стороной  a  и  острым  углом  30

0

,  найденная  по  формуле  Древнего 



Вавилона,  больше  площади  этого  ромба,  вычисленной  по  современным 

формулам? Формула Вавилона:  



х

 

х-3

 


 

Решение: 

1)

 

Найдем  площадь  ромба  со  стороной  a  и  острым  углом  30



0

  по  формуле 

Древнего Вавилона: 

  

  а

 

 

  а

 

    а

 

 

 



2)  Найдем площадь ромба со стороной a и острым углом 30

0

 по формуле: 



      S=a

2



sin

;  S=a



2

sin30



0

;  S=

 

 

 



 a

2

. 



3)    Из  1)  и  2)  находим,  что  площадь  ромба  со  стороной  a  и  острым  углом  30

0



найденная  по  формуле  Древнего  Вавилона,  больше  площади  этого  ромба, 

вычисленной по современным формулам,  в 2 раза.  

Ответ: 2. 

Задание № 15  

Альберту  Эйнштейну  принадлежит  высказывание:  «Логика  может  привести  Вас 

от пункта А к пункту  В, а воображение - куда угодно...». Из пункта  А в пункт В 

выехали  одновременно  два  велосипедиста.  Первый  ехал  по  полуокружности, 

построенной  на  отрезке  АВ,  как  на  диаметре.  Второй  же  ехал  по  траектории, 

состоящей  из  двух  полуокружностей,  построенных  на  половинах  отрезка  АВ

Пользуясь  логикой  и  воображением,  найдите  отношение  длины  пути  первого 

велосипедиста к длине пути второго велосипедиста.  

 

Решение: 



Длину  пути  первого  велосипедиста  найдем  как  длину  полуокружности  с 

диаметром АВ=d:     С

1





d

Длину  пути  второго  велосипедиста  найдем  как  сумму  длин  полуокружностей  с 

диаметрами    

АВ

 

 

 

 

 

:      С



2

= 2




 

2

 



Длины  пути  первого  и  второго  велосипедистов  равны,  значит,  их  отношение 

равно 1. 

Ответ: 1. 





Достарыңызбен бөлісу:


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет