Особенности реализации метода причинности по грейнджеру для исследования электроэнцефалограмм при абсансной эпилепсии


Глава 1. Выбор временных масштабов при построении



Pdf көрінісі
бет2/7
Дата24.10.2018
өлшемі5.01 Kb.
түріДиссертация
1   2   3   4   5   6   7
Глава 1. Выбор временных масштабов при построении 
эмпирической модели 
 
1.1 Введение 
В  данной  главе  рассматривается  задача  оптимального  учѐта 
временных  масштабов  исходного  временного  ряда  при  построении 
эмпирических  прогностических  моделей,  используемых  для  оценки 
причинности  по  Грейнджеру.  Поскольку  рассматриваемые  нами 
временные  ряды  достаточно  короткие  и  нерегулярные,  было  решено 
отказаться  от  идеи  восстанавливать  дифференциальные  уравнения,  и 
модель  строилась  в  виде  нелинейного  отображения  последования. 
Существенная  новизна  состоит  в  том,  что  предлагается  использовать 
при построении модели два различных параметра: дальность прогноза и 
лаг,  что  позволяет  учесть  несколько  временных  масштабов,  используя 
короткий  временной  ряд.  Для  построенных  таким  образом  моделей  на 
основе  анализа  большого  набора  тестовых  примеров  сформулированы 
основные критерии выбора предложенных параметров, опирающиеся на 
анализ  чувствительности  и  специфичности  метода  причинности  по 
Грейнджеру [Mierlo, 2011]. 
Анализ  связанности  между  двумя  системами  по  их  временным 
рядам  является  одним  из  актуальных  направлений  современной  науки. 
Классическим  подходом  для  этой  цели  является  причинность  по 
Грейнджеру [Granger, 1969]. Основная идея этого метода заключается в 
построении  прогностической  модели,  и  если  данные  из  первого 
временного ряда помогают точнее предсказывать поведение второго, то 
считается, что первая система влияет на вторую. 
Для  анализа  причинности  по  Грейнджеру  вначале  строится 
индивидуальная модель, которая учитывает точки только из одного ряда 
 
N
=
n
n
x
1
, влияние на который оценивается (1.1.1): 

 
20 




x
l
1
D
n
l
n
n
+
n
s
x
x
,
,
x
,
x
f
=
x



...
'

  
(1.1.1) 
где 
f
 — полином общего вида от 
s
D
 переменных [Chen, 2004], 
'

+
n
x
 — 
предсказанное значение, соответствующее измеренному значению 


n
x

)
,...,
,
(
)
1
(
x
s
x
l
D
n
l
n
n
n
x
x
x
x





  –  вектор  состояния,  полученный  методом 
задержек [Packard, 1980] который является классическим подходом для 
получения  высокоразмерного  вектора  состояния 
 
x
s
l
D
N
n
n
x
)
1
(
1




  из 
скалярного  временного  ряда 
 
N
=
n
n
x
1
  путѐм  сдвига  назад  во  времени 
(
1

s
D
)  раз  на  временную  задержку  (лаг 
x
l
), 

  —  дальность  прогноза, 
т.е.  расстояние  между  последней  точкой  в  векторе  состояния  и 
предсказываемой 
(на 
сколько  точек 
вперѐд 
предсказываем). 
Коэффициенты  модели  подбирались  методом  наименьших  квадратов 
[Legendre, 1805]. 
Затем  —  совместная  модель,  которая  учитывает  точки  из  обоих 
рядов 
 
N
=
n
n
x
1
 и 
 
N
=
n
n
y
1
 (1.1.2): 


















y
D
n
l
n
n
x
D
n
x
l
n
n
+
n
l
y
,
,
y
,
y
,
l
x
,
,
x
,
x
g
=
x
y
s
1
...
1
...
a
''

  
(1.1.2) 
где 
g
  —  полином  общего  вида  от 
a
s
j
D
D
D


  переменных, 
x
l
  —  лаг 
для  вектора  состояния  из  точек  ряда 
 
N
=
n
n
x
1

y
l
  —  лаг  для  вектора 
состояния  из  точек  ряда 
 
N
=
n
n
y
1
.  В  случае  использования  стандартной 
линейной  модели 
1


l


f
  и 
g
  являются  линейными  функциями, 
подбирается только размерность модели 
s
D

Для обеих моделей рассчитываются среднеквадратичные ошибки 
аппроксимации. Для индивидуальной модели 
2
s
ε














N
l
D
n
n
n
x
s
x
s
x
x
N
)
1
(
2
'
2
'
2
)
(
1
 
(1.1.3) 

 
21 
где 
2
x

 — дисперсия временного ряда 
 
N
=
n
n
x
1

'
N
 — эффективная длина 
временного ряда 
 
N
=
n
n
x
1
, вычисляемая как 
l
D
N
N
s
)
1
(
'






Аналогично рассчитывается ошибка совместной модели 
2
j
ε














N
l
D
D
n
n
n
x
j
x
a
s
x
x
N
)
1
)
,
(max(
2
''
2
'
2
)
(
1
 
(1.1.4) 
Коэффициент  улучшения  прогноза,  характеризующий  причинность  по 
Грейнджеру, выражается через эти ошибки следующим образом: 
2
2
1
s
j
ε
ε
=
PI

 . 
(1.1.5) 
Если 
2
2
j
s



,  значит  учѐт  сигнала 
 
N
=
n
n
y
1
  никак  не  помогает 
предсказать  динамику 
 
N
=
n
n
x
1
,  и  делается  вывод,  что  система 
Y
  не 
влияет на систему 
X
; если же 
0
2

s

 и 
0
2

j

, значит 
0

PI
, временной 
ряд 
 
N
=
n
n
y
1
  существенно  помогает  в  прогнозе  ряда 
 
N
=
n
n
x
1
  и  делается 
вывод, что система 
Y
 влияет на систему 
X
.  
Теоретически ситуации 
0

PI
 и 
1

PI
 достижимы, но для этого 
структура  моделей  (1.1.1  и  1.1.2)  должна  очень  хорошо  описывать 
объект, как это показано в [Корнилов, 2013], иначе и при наличии связи, 
и  при  еѐ  отсутствии  будет  получено  значение 
1
0


PI
,  что  и 
происходит  на  практике.  Это  может  быть  обусловлено  конечностью 
разрешения по времени [Smirnov, 2012], неверным выбором параметров 
метода, конечною длиною ряда, шумами и иными факторами. 
Влияние  дальности  прогноза  и  лагов  на  улучшение  прогноза 
исследуется с помощью тестовых примеров, поскольку в них известны 
все  параметры  (размерность,  порядок  полинома),  а  направленность  и 
силу  связи  (коэффициент  связи 
k
)  мы  можем  задать  сами.  В  качестве 
тестовых  примеров  использовались  процессы  авторегрессии  первого  и 
второго порядков,  системы  Фитцхью-Нагумо  [FitzHugh,  1955;  Nagumo, 

 
22 
1962], системы Рѐсслера [Rössler, 1976] в периодическом и хаотическом 
режимах, системы Лоренца [Лоренц, 1981] в хаотическом режиме. При 
этом  некоторые  параметры  временных  рядов:  общее  число  точек 
N
  и  
количество  колебаний  побирались  таким  образом,  чтобы  хотя  бы 
примерно соответствовать экспериментальным данным. В нашем случае 
общая  цель  работы  —  исследование  взаимодействия  между  отделами 
головного  мозга  при  абсансной  эпилепсии,  поэтому  в  качестве 
ориентира  использовались  временные  ряды  внутричерепных  ЭЭГ  во 
время  абсансного  эпилептического  разряда,  описанные,  например,  в 
[Sitnikova, 2008]. 
Методика исследования зависимости причинности по Грейнджеру 
от дальности прогноза заключается в следующем: 
1.
 
Генерируются  100  пар  рядов  без  связи  (k  =  0),  для  каждой  пары 
рассчитывается  улучшение  прогноза  PI,  95-е  по  величине 
значение запоминаем (чѐрная горизонтальная линия на рис. 1.1.1). 
Таким  образом,  осуществляется  проверка  значимости  на  уровне 
5%; 
2.
 
Генерируются  ряды  с  однонаправленной  связью.  Для  каждого 
значения  коэффициента  связи 
k
  делаются  100  пар  рядов,  для 
каждой  пары  рассчитывается  улучшение  прогноза  PI  и 
вычисляется среднее значение (серая линия на рис. 1.1.1); 
3.
 
Если  среднее  значение  PI  для  данной  силы  связи  k  лежит  выше 
95%-ого уровня (т.е. на рис. серая линия лежит выше чѐрной), то 
мы  наблюдаем  значимое  улучшение  прогноза.  Обозначим 
пересечение  этих  двух  линий 
k
  –  критическое  значение 
коэффициента связи; 

 
23 
 
4.
 
Пункты 1-3 повторяются для различных значений дальности 
прогноза, и рисуется двухпараметрическая карта значимости улучшения 
прогноза  (
PI
)  от  коэффициента  связи  (
k
)  и  дальности  прогноза  (


(рис. 1.1.2).  Закрашенная  серым  область  показывает,  при  каких 
значениях  коэффициента  связи  и  дальности  прогноза  обнаруживается 
значимая связь. Закрашенная белым область — где метод считает связь 
незначимой. 
k
 соответствует границам раздела серой и белой областей, 
5.
 
Такие карты значимости строятся при анализе связанности в 
заведомо  верную  и  заведомо  ложную  стороны.  Обозначим 
true
k
k

  — 
критическое значение коэффициента связи в заведомо верную сторону, 
а 
false
k
k

  —  минимальное  значение,  при  котором  связь  значимо 
обнаруживается в заведомо ложном направлении.  
 
Рис. 1.1.1 Зависимость  причинности  по  Грейнджеру  ( PI )  от  коэффициента  связи 
) при фиксированной дальности прогноза (

). Чѐрная горизонтальная линия – 95-
ое  по  величине  улучшение  прогноза  PI   для 
0

k
  (проверка  значимости);  серая 
линия – среднее значение улучшения прогноза для каждого коэффициента связи. 

 
24 
 
Оптимальная дальность прогноза определяется по двум критериям 
[Mierlo, 2011]: 

 
чувствительность  метода:  количество  значимых  выводов  о 
наличии  связи  в  правильную  сторону  должно  быть  намного 
больше, при этом связь в верную сторону должна обнаруживаться 
при как можно меньшем значении коэффициента связи; 

 
специфичность метода: количество значимых выводов о наличии 
связи в неправильную сторону должно быть как можно меньше (в 
идеале  совсем  не  обнаруживается),  при  этом  связь  в 
неправильную  сторону  должна  считаться  незначимою  при  как 
можно больших значениях коэффициента связи. 
 
 
Рис. 1.1.2 Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента связи ( ) и дальности прогноза (

). В правильную строну (слева) и в 
неправильную  (справа).  Сверху  типичная  картинка  для  периодических,  снизу  для 
хаотических  процессов.  Серая  область  -  значения  коэффициента  связи  и  дальности 
прогноза,  при  которых    обнаруживается  значимая  связь;  белая  область  –  значения 
коэффициента связи и дальности прогноза, при которых  обнаруживается незначимая 
связь. 

 
25 
1.2 Процесс авторегрессии первого порядка 
n
n
+
n
n
n
n
+
n
η
+
y
β
=
y
,
ξ
+
y
k
+
x
α
=
x



1
1
 
(1.2.1) 
где 
0.98.
0.99
=
β
,
=
α
 
Длину  ряда  выбираем  по  порядку  величины  такой  же,  как  для 
экспериментальных  данных  (N  =  2000  точек  или  20-30  характерных 
периодов). 
 
Добавление  измерительного  шума  значительно  ухудшает 
локальные  предсказательные  характеристики  модели  (предсказание 
ближайшей  точки),  но  не  вносит  существенных  искажений  в 
долгосрочную  динамику,  что  должно  дать  преимущество  большим 
дальностям  прогноза.  Поэтому  к  временным  рядам  был  добавлен 
измерительный шум: 
'
n
n
'
n
'
n
n
'
n
η
+
y
=
y
ξ
+
x
=
x
 
(1.2.2) 
Далее  была  построена  зависимость  порога  чувствительности  (
k
)  от 
дальности  прогноза  (

)  для  рядов  без  измерительного  шума  и  с 
добавление  сильного  шума,  амплитуда  которого  составляла  10%  от 
среднеквадратичного 
отклонения 
исходного 
временного 
ряда 
(рис.1.2.2).  Связь  искалась  в  правильную  сторону.  На  обоих  графиках 
предпочтительными являются маленькие дальности прогноза.  
 
Рис.1.2.1.  Временные  ряды  процессов  авторегрессии  первого  порядка:  x  –  чѐрный 
график, y – серый график. 

 
26 
 
Далее  анализировались  временные  ряды  с  добавлением 
измерительного  шума  со  среднеквадратичным  отклонением  в  1%  от 
среднеквадратичного  отклонения  исходного  временного  ряда.  Связь 
искалась  в  правильную  и  неправильную  сторону.  Для  всех  дальностей 
прогноза  связь  в  неправильную  сторону  не  обнаруживается,  т.е. 
специфичность  во  всем  диапазоне  хорошая  (рис.1.2.3).  Так  же  видно, 
что  с  ростом  дальности  прогноза  чувствительность  метода  падает,  т.е. 
предпочтительными являются единичные дальности прогноза. 
 
 
Рис.1.2.2.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  процессов  авторегрессии 
первого  порядка  в  правильную  сторону.  Без  измерительного  шума  (слева)  и  с 
добавлением  измерительного  шума,  амплитуда  которого  составляет  10%  от 
среднеквадратичного отклонения исходного временного ряда (справа). 
 
 
Рис.1.2.3.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  процессов  авторегрессии 
первого  порядка  с  измерительным  шумом,  амплитуда  которого  составляет  1%  от 
среднеквадратичного отклонения
 
исходного временного ряда. В правильную строну 
(слева) и в неправильную (справа). 

 
27 
1.3 Процесс авторегрессии второго порядка 
n
n
n
+
n
n
n
n
n
+
n
η
+
y
β
+
y
β
=
y
ξ
+
y
k
+
x
α
+
x
α
=
x
1
2
1
1
1
2
1
1







 
(1.3.1) 
где 
0.99.
1.99
2
2
1
1





β
,
α


 
Длина ряда N = 2000 точек. 
Значения  параметров  взяты  так,  чтобы  данные  уравнения  были 
разностной  схемой  для  численного  решения  уравнения  линейного 
осциллятора с шумом: 
ξ(t)
=
x
ω
+
x
+
x
2
0




 
(1.3.2) 
при 
1,
0
=
ω
 
0.05
=
γ
 с шагом 
.
100

=
Δt
 
2
1
2
2
0
1
2
1
2
2
0
1
1
1
1
2
1
1
1
2
Δt
η
+
y
+
γΔt
γΔt
+
y
+
γΔt
Δt
ω
=
y
Δt
ξ
+
y
k
+
x
+
γΔt
γΔt
+
x
+
γΔt
Δt
ω
=
x
n
n
n
+
n
n
n
n
n
+
n


















 

















 
 
(1.3.3) 
Затем  опять  добавляли  измерительный  шум,  среднеквадратичное 
отклонение  которого  составляло  1%  от  среднеквадратичного 
отклонения исходного временного ряда: 
'
n
n
'
n
'
n
n
'
n
η
+
y
=
y
ξ
+
x
=
x
 
(1.3.4) 
Когда  модель  двумерная,  возникает  вопрос,  какой  лаг  брать? 
Поэтому для всех дальностей прогноза (

) подбирался оптимальный лаг 
 
Рис.1.3.1. Временные ряды процессов авторегрессии второго порядка.  
x – чѐрный график, y – серый график. 

 
28 
(
l
)  по  критерию  минимума  ошибки  аппроксимации.  Полученные 
результаты показаны на рис.1.3.2. 
 
Для  временных  рядов  характерный  период  определялся  по 
первому  максимуму  автокорреляционной  функции  (рис.1.3.3.).  На 
рисунке  видно,  что  для  обоих  временных  рядов  характерный  период 
Δt
=
T
100
, а ноль автокорреляционной функции 
Δt
=
R
25
0

 
Исходя  из  этих  фактов,  были  сделаны  следующие  выводы:  при 
дальности  прогноза,  равной  половине  характерного  периода  (
T
2
1



или  характерному  периоду  (
T


),  оптимальным  является 
T
=
l
.  В 
остальных случаях оптимальным является 
1
=
l
 (рис.1.3.2). 
 
Рис.1.3.2.  Зависимость  оптимального  лага  (l)  от  дальности  прогноза  (

)  для 
процессов авторегрессии второго порядка. Для временного ряда x – чѐрный график, 
для временного ряда y – серый график. 
 
Рис.1.3.3.  Автокорреляционные  функции  для  процессов  авторегрессии  второго 
порядка.  Для  временного  ряда  x  –  чѐрный  график,  для  временного  ряда  y  –  серый 
график. 

 
29 
Далее были построены зависимость порога чувствительности (
k

от  дальности  прогноза  (

)  для  рядов  без  измерительного  шума  и  с 
большим 
шумом, 
амплитуда 
которого 
составляла 
10% 
от 
среднеквадратичного  отклонения  исходного  временного  ряда.  Связь 
искалась  в  правильную  сторону.  Полученные  зависимости  оказались 
практически идентичны — см. рис.1.3.4. Можно утверждать, что метод 
устойчив к измерительному шуму. 
 
Далее 
анализировали 
временные 
ряды 
с 
добавлением 
измерительного  шума  амплитудой  1%  от  среднеквадратичного 
отклонения исходного временного ряда. Связь искалась в правильную и 
неправильную  сторону  (рис.1.3.5).  При  дальности  прогноза,  равной 
половине  характерного  периода  (
T
2
1


)  или  характерному  периоду 
(
T


),  чувствительность  падает.  При  остальных  значениях  дальности 
прогноза чувствительность практически не изменяется. В неправильную 
сторону связь обнаружена не была. 
 
 
Рис.1.3.4.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  процессов  авторегрессии 
второго  порядка  в  правильную  сторону.  Без  измерительного  шума  (слева)  и  с 
добавлением  измерительного  шума,  амплитуда  которого  составляет  10%  от 
среднеквадратичного отклонения исходного временного ряда (справа). 

 
30 
 
Возникло  предположение,  что  ухудшение  чувствительности 
метода  может  быть  связано  с  определенным  образом  подобранными 
лагами.  Поэтому  далее  были  построены  зависимости  порога 
чувствительности  (
k
)  от  дальности  прогноза  (

),  зафиксировав  лаг 
равным  1.  При  этом  чувствительность  метода  при  всех  дальностях 
прогноза оказалась примерно одинаковой (рис.1.3.6). 
 
Почему  чувствительность  модели  с  подобранными  лагами  при 
дальности  прогноза,  равной  половине  характерного  периода  (
T
2
1



или  характерному  периоду  (
T


),  уменьшается?  Улучшение 
 
Рис.1.3.6.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  процессов  авторегрессии 
второго порядка в правильную строну. С  единичным лагом (слева)  и с подобранным 
лагом (справа). 
 
 
Рис.1.3.5.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  процессов  авторегрессии 
второго  порядка  с  измерительным  шумом,  амплитуда  которого  составляет  1%  от 
среднеквадратичного отклонения исходного временного ряда. В правильную строну 
(слева) и в неправильную (справа). 

 
31 
предсказательной  способности  модели  ухудшает  работу  метода.  По-
видимому,  дело  в  следующем.  Индивидуальная  модель  описывает 
только  одну  из  взаимодействующих  подсистем.  Однако  если 
подсистемы  взаимодействуют,  то  их  можно  рассматривать  как  одну 
систему,  и  достаточно  сложная  хорошо  подобранная  модель, 
построенная по одному ряду, может хорошо описывать динамику всей 
системы  в  целом.  В  этом  случае  улучшение  прогноза  будет 
незначительным, что приведет к уменьшению чувствительности метода.  
Таким  образом,  используя  причинность  по  Грейнджеру,  в 
действительности  делается  ряд  предположений,  а  именно,  что  связь 
достаточно  слабая  (чтобы  можно  было  разделить  индивидуальную 
динамику  системы  и  влияние  второй  подсистемы),  и,  что  сами 
подсистемы  достаточно  сложны,  чтобы    индивидуальная  модель  не 
могла описать их обе сразу. 
В  нашем  примере  взаимодействующих  систем  авторегрессии  эти 
предположения,  казалось  бы,  выполняются.  Однако  когда  дальность 
прогноза  и  лаг  оказываются  порядка  характерного  периода,  прогноз 
существенно  упрощается  (эффективная  размерность  уменьшается)  и 
уже одномерная модель достаточно хорошо описывает динамику одной 
подсистемы.  Соответственно,  двумерная  модель  хорошо  описывает 
совместную  динамику  обоих  подсистем.  То  есть  индивидуальная 
модель оказалась слишком хорошей. 

 
32 
1.4 Система Фитцхью-Нагумо 






,
γy
bx
=
dt
dy
,
I
+
y
x
x
a
x
=
dt
dx
,
γy
bx
=
dt
dy
,
ky
I
+
y
x
x
a
x
=
dt
dx
2
2
a
2
1
1
a
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1









 
(1.4.1) 
где 
0.8,
=
a
 
,
=
b
0.008
 
,
=
γ 0.0033
 
0.84.
=
I
a
 
Длина ряда N = 2000 точек. Уравнения интегрировались методом 
Эйлера [Бахвалов, 2001] с шагом 
5
.
0

h
, поскольку в систему вводился 
динамический  шум  со  среднеквадратичным  отклонением 
s
n


02
.
0


где 
s

  –  среднеквадратичное  отклонение  сигнала.  Устойчивость 
алгоритма  тестировалась  путѐм  проверки  на  меньших  шагах;  далее 
временной  ряд  перевыбирался  с  шагом 
h
t
3


,  чтобы  получить 
примерно 
2
10
 отсчѐтов на характерном периоде. 
Добавляем  измерительный  шум  и  анализируем  первую 
координату x
(t)
ξ
+
(t)
x
=
(t)
x
(t),
ξ
+
(t)
x
=
(t)
x
'
'
2
2
2
1
1
1
 
(1.4.2) 
Амплитуда  измерительного  шума  1%  от  среднеквадратичного 
отклонения исходного временного ряда. 
 
 
Рис.1.4.1. Временные ряды двух систем Фитцхью-Нагумо. 
1
x
 – чѐрный график, 
2
x
 – серый график. 

 
33 
Теперь  сразу  строим  автокорреляционную  функцию  (рис.1.4.2). 
Характерный  период 
Δt
T
100

,  а  ноль  автокорреляционной  функции 
Δt
R
17
0


 
Для всех дальностей прогноза (

) подбирался оптимальный лаг (l
(рис.1.4.3).  На  графиках  есть  склоны,  горизонтальные  участки  и  пик. 
Склоны  на  графике  соответствуют  точке,  которая  берется  на 
определенном  расстоянии  от  предсказываемой.  В  начале  от 
t


1

  до 
Δt
17

  лаг  берется  такой,  чтобы  захватить  точку,  лежащую  через 
интервал,  соответствующий  нулю  автокорреляционной  функции 
Δt
R
17
0

.  Второй  склон  начинается  с 
Δt
40

.  Там  лаг  выбирается 
таким,  чтобы  захватить  точку,  лежащую  через  характерный  период. 
Горизонтальные  участки  говорят  о  том,  что  в  векторе  состояния 
необходимы точки, которые лежат на определенном расстоянии друг от 
друга.  Например,  через  расстояние,  равное  нулю  автокорреляционной 
функции 
0
R
. Пик на 
Δt
100

 соответствует 
T
=
l

 
Рис.1.4.2. Автокорреляционные функции для систем Фитцхью-Нагумо. Для временного 
ряда 
1
x
 – чѐрный график, для временного ряда 
2
x
 – серый график. 

 
34 
 
Были  построены  зависимости  порога  чувствительности  (
k
)  от 
дальности  прогноза  (

)  для  рядов  без  измерительного  шума  и  с 
добавление  сильного  шума,  амплитуда  которого  составляла  10%  от 
среднеквадратичного 
отклонения 
исходного 
временного 
ряда 
(рис.1.4.4).  Связь  искалась  в  правильную  сторону.  Качественной 
разницы между графиками нет. 
 
Далее 
анализировали 
временные 
ряды 
с 
добавление 
измерительного  шума,  амплитудой  1%  от  среднеквадратичного 
 
Рис.1.4.4.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  систем  Фитцхью-Нагумо  в 
правильную  сторону.  Без  измерительного  шума  (слева)  и  с  добавлением 
измерительного  шума,  амплитуда  которого  составляет  10%  от  среднеквадратичного 
отклонения исходного временного ряда (справа). 
 
Рис.1.4.3. Зависимость оптимального лага (l) от  дальности прогноза (

) для  систем 
Фитцхью-Нагумо.  Для  временного  ряда 
1
x
  –  чѐрный  график,  для  временного  ряда 
2
x
 – серый график. 

 
35 
отклонения исходного временного ряда. Связь искалась в правильную и 
неправильную  сторону.  При  определении  связи  в  правильную  сторону 
оптимальными  дальностями  прогноза  являются  единичные  (рис.1.4.5). 
Однако  при  малых  дальностях  прогноза  характеристика  связи  в 
неправильную сторону также оказываются значимой (рис.1.4.5). То есть 
для  правильного  вывода  о  направлении  связи  следует  брать  не 
единичную,  а  несколько  большую  дальность.  При  дальности  прогноза 
равной  половине  характерного  периода  (
T
2
1


)  или  характерному 
периоду  (
T


)  чувствительность,  как  и  в  случае  процессов 
авторегрессии второго порядка, ухудшается. 
 
В  неправильную  сторону  связь  обнаруживается  от  единичной 
дальности 
прогноза 
до 
дальности 
прогноза, 
равной 
нулю 
автокорреляционной функции.  
Возникло предположение, что обнаружение это связи может быть 
связано  с  определенным  образом  подобранными  лагами.  На  этом 
интервале, где наблюдается связь в неправильную сторону, лаг берется 
такой, 
чтобы 
захватить 
точку, 
лежащую 
через 
интервал, 
соответствующий  нулю  автокорреляционной  функции.  Чтобы  это 
проверить, 
были 
построены 
графики 
зависимости 
порога 
чувствительности  (
k
)  от  дальности  прогноза  (

)  в  неправильную 
 
Рис.1.4.5.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  систем  Фитцхью-Нагумо.  В 
правильную строну (слева) и в неправильную (справа). 

 
36 
сторону  при  постоянных  лагах,  равных  единице  и  нулю 
автокорреляционной  функции  (рис.1.4.6).  В  обоих  случаях  связь 
обнаруживалась. При чѐм при единичных лагах она обнаруживалась как 
в  большем  диапазоне  связей,  так  и  в  большем  диапазоне  дальностей 
прогноза. 
 
Таким  образом,  наше  предположение  не  подтвердилось.  С 
изменением  выбора  лага  выводы  о  связи  в  неправильную  сторону  не 
связаны. 
 
Рис.1.4.6.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  систем  Фитцхью-Нагумо  в 
неправильную  сторону  при  постоянных  лагах,  равных  единице  (слева)  и  нулю 
автокорреляционной функции (справа). 

 
37 
1.5 Система Ресслера (хаотический режим) 
Системы Ресслера: 




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
c
x
z
b
=
dt
dz
,
y
a
+
x
=
dt
dy
,
z
y
=
dt
dx
,
c
x
z
b
=
dt
dz
,
y
a
+
x
=
dt
dy
,
x
k
+
z
y
=
dt
dx













 
(1.5.1) 
где 
,
398
.
0
1

a
 
,
2
1

b
 
,
4
1

c
 
,
2
.
0
2

a
 
,
2
.
0
2

b
 
.
7
.
5
2

c
  При  заданных 
параметрах системы Ресслера будут находиться в хаотическом режиме. 
Длина  ряда  N  =  2000  точек.  Система  интегрировалась  методом  Рунге–
Кутты  4-го  порядка  [Бахвалов,  2001]  с  шагом 
005
.
0

h
  без 
динамического шума, и данные перевыбирались с шагом 
h
t
10



К  полученным  рядам  добавлялся  измерительный  шум, 
анализировалась  первую  координата  обеих  подсистем  — 
1
x
  и 
2
x
 
соответственно: 
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
2
2
'
2
1
1
'
1
t
t
x
t
x
t
t
x
t
x






 
(1.5.2) 
Амплитуда  измерительного  шума  составляла  1%  от  дисперсии 
исходного временного ряда. 
 
По  графику  автокорреляционной  функции  (рис.1.5.2)  определяли 
характерные  периоды 
t
T


124
1
  и 
t
T


119
2
,  а  так  же  нули 
автокорреляционных функций 
t
R


30
01
 и 
t
R


29
02

 
Рис.1.5.1. Временные ряды двух систем Ресслера в хаотическом режиме. 
1
x
 – чѐрный график, 
2
x
 – серый график. 

 
38 
 
Для всех дальностей прогноза (

) подбирался оптимальный лаг (l
при порядке полинома 
3

P
 (рис.1.5.3, а) и 
5

P
 (рис.1.5.3, б). В обоих 
случаях зависимость сложная. Так же, как для систем Фитцхью-Нагумо, 
наблюдаются  склоны  и  горизонтальные  участки,  связанные  с  точкой  в 
нуле автокорреляции и с точкой, лежащей через характерный период. 
 
При  использовании  кубического  аппроксимирующего  полинома 
наибольшая  чувствительность  приходится  на  дальность  прогноза 
равную  половине  характерного  периода  (
T
2
1


)  или  характерному 
периоду (
T


) (рис. 1.5.4). В неправильную сторону метод тоже иногда 
показывает  наличие  значимой  связи,  но  в  гораздо  меньшем  диапазоне 
 
Рис.1.5.3.  Зависимость  оптимального  лага  (l)  от  дальности  прогноза  (

)  для  систем 
Ресслера  в  хаотическом  режиме.  Для  временного  ряда 
1
x
  –  чѐрный  график,  для 
временного  ряда 
2
x
  –  серый  график.  Слева  при  порядке  полинома 
3

P
,  справа  при 
порядке полинома 
5

P

 
Рис.1.5.2. Автокорреляционные функции для систем Ресслера в хаотическом режиме.  
Для временного ряда 
1
x
 – чѐрный график, для временного ряда 
2
x
 – серый график. 

 
39 
значений коэффициента связи. Предположительно, это происходит из-за 
недостаточно хорошей аппроксимации полиномом порядка 3. 
 
При  увеличении  порядка  полинома  (
5

P
)  чувствительность 
метода  на  всех  дальностях  прогноза  примерно  одинаковая.  В 
неправильную  сторону  метод  показывает  наличие  значимой  связи  при 
малых дальностях прогноза, а так же при дальностях прогноза, равных 
половине  характерного  периода  (
T
2
1


)  и  характерному  периоду 
(
T


) (рис.1.5.5). 
 
 
Рис.1.5.5.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента связи ( ) и дальности прогноза (

) для систем Ресслера в хаотическом 
режиме  при  использовании  аппроксимирующего  полинома  порядка  5.  В  правильную 
строну (слева) и в неправильную (справа). 
 
Рис.1.5.4.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента связи ( ) и дальности прогноза (

) для систем Ресслера в хаотическом 
режиме при использовании кубического аппроксимирующего полинома. В правильную 
строну (слева) и в неправильную (справа). 

 
40 
На  рис.  1.5.4  и  рис.  1.5.5  видно,  что  для  некоторых  дальностей 
прогноза 

  при  малых  значениях  коэффициента  связи  значения 
улучшения  прогноза  являются  незначимыми  (белая  область  внизу),  с 
увеличением 
k
  значения 
PI
  становятся  значимыми  (серая  область),  но 
при  дальнейшем  увеличении  силы  связи 
PI
  снова  становятся 
незначимыми  и  мы  наблюдаем  на  рисунках  белую  область  сверху  над 
серой.  На  зависимости  улучшения  прогноза  от  коэффициента  связи 
)
(k
PI
  (рис.  1.5.6)  наблюдается  вначале  возрастание 
PI
,  а  затем  его 
падения  ниже  95%-го  уровня  значимости.  Это  падение  связано  с 
увеличением  синхронизации  между  связанными  системами  [Корнилов, 
2014].  При  большом  уровне  синхронизации  (коэффициент  фазовой 
синхронизации > 95%) сигналы ведущей и ведомой системы становятся 
близки,  поэтому  улучшение  прогноза,  которое  может  обеспечить  учет 
сигнала  из  ведущей  системы,  становится  незначительно,  сравнимо  со 
случайными  значениями,  получаемыми  по  суррогатным  рядам.  В 
данной  работе  это  явление  наблюдалось  для  временных  рядов  без 
добавления  динамического  шума.  Динамический  шум  вносит 
индивидуальность 
в 
поведение 
каждой 
системы, 
добавляя 
дополнительную информацию, и при этом препятствуя синхронизации. 

 
41 
 
 
Рис. 1.5.6 Зависимость  улучшения  прогноза  ( PI )  от  коэффициента  связи  ( )  при 
фиксированной  дальности  прогноза  (
25


)  для  систем  Ресслера  в  хаотическом 
режиме  при  использовании  кубического  полинома  при  поиске  связи  в 
неправильную  сторону.  Чѐрная  горизонтальная  линия  –  95-ое  по  величине 
улучшение  прогноза  PI   для 
0

k
  (проверка  значимости);  серая  линия  –  среднее 
значение улучшения прогноза для каждого коэффициента связи. 

 
42 
1.6 Система Ресслера (периодический режим) 
Системы  Ресслера  (1.5.1),  где 
,
3
.
0
1

a
 
,
2
.
0
1

b
 
,
5
.
1
1

c
 
,
25
.
0
2

a
 
,
2
.
0
2

b
 
.
2
2

c
  При  заданных  параметрах  системы  Ресслера  будут 
находиться в периодическом режиме. Длина ряда N = 2000 отсчѐтов. В 
периодическом  режиме  система  интегрировалась  методом  Эйлера  
[Бахвалов, 2001] с шагом 
0001
.
0

h
 и динамическим шумом 
s
n


01
.
0


данные перевыбирались с интервалом 
h
t
500



Добавляем измерительный шум и анализируем координату  (т.к. 
она имеет импульсных характер, подобно ЭЭГ во время разряда абсанс-
эпилепсии): 
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
2
2
'
2
1
1
'
1
t
t
z
t
z
t
t
z
t
z






 
(1.6.1) 
Амплитуда  измерительного  шума  1%  от  дисперсии  исходного 
временного ряда. 
 
По  графику  автокорреляционной  функции  (рис.1.6.2)  определяли 
характерные  периоды 
t
T


105
1
  и 
t
T


111
2
,  а  так  же  нули 
автокорреляционных функций 
t
R


20
01
 и 
t
R


20
02

 
Рис.1.6.1. Временные ряды двух систем Ресслера в периодическом режиме. 
1
z
 – чѐрный график, 
2
z
 – серый график. 

 
43 
 
Для всех дальностей прогноза (

) подбирался оптимальный лаг (l
при порядке полинома 
3

P
 (рис.1.6.3, а) и 
5

P
 (рис.1.6.3, б). Склоны 
на  графике  соответствуют  точке,  которая  берется  на  определенном 
расстоянии  от  предсказываемой.  Например,  первый  верхний  склон 
соответствует точке, лежащей через 2 характерных периода: 
T
l
2
2




Второй  нижний  склон  соответствует  точке,  лежащей  через  период: 
T
l




 
При  использовании  кубического  аппроксимирующего  полинома 
чувствительность  метода  везде примерно одинаковая.  В  неправильную 
сторону метод показывает наибольшую специфичность при дальностях 
 
Рис.1.6.3.  Зависимость  оптимального  лага  (l)  от  дальности  прогноза  (

)  для  систем 
Ресслера  в  периодическом  режиме.  Для  временного  ряда 
1
z
  –  чѐрный  график,  для 
временного  ряда 
2
z
  –  серый  график.  Слева  при  порядке  полинома 
3

P
,  справа  при 
порядке полинома 
5

P

 
Рис.1.6.2.  Автокорреляционные  функции  для  систем  Ресслера  в  периодическом 
режиме.  Для  временного  ряда 
1
z
  –  чѐрный  график,  для  временного  ряда 
2
z
  –  серый 
график. 

 
44 
прогноза,  равных  характерному  периоду  (T)  (рис.1.6.4).  В  данной 
ситуации  не  происходит  переобучения,  т.к.  порядка  полинома 
3

P
 
недостаточно для хорошей аппроксимации. 
 
При  увеличении  порядка  полинома  (
5

P
)  метод  наиболее 
чувствителен  при  дальности  прогноза,  равной  половине  характерного 
периода (
T
2
1


) или характерному периоду (
T


) (рис.1.6.5).  
 
 
Рис.1.6.5  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  систем  Ресслера  в 
периодическом  режиме  при  использовании  аппроксимирующего  полинома  порядка  5. 
В правильную строну (слева) и в неправильную (справа). 
 
Рис.1.6.4.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента  связи  ( )  и  дальности  прогноза  (

)  для  систем  Ресслера  в 
периодическом  режиме  при  использовании  кубического  аппроксимирующего 
полинома. В правильную строну (слева) и в неправильную (справа). 

 
45 
1.7 Система Лоренца (хаотический режим) 
,
z
c
y
x
=
dt
dz
,
y
)
z
(b
x
=
dt
dy
),
x
(y
а
=
dt
dx
,
z
c
y
x
=
dt
dz
,
y
)
z
(b
x
=
dt
dy
,
kx
+
)
x
(y
а
=
dt
dx
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1








  
(1.7.1) 
где 
,
=
a
10
1
 
,
=
b
46
1
 
,
=
c
8/3
1
 
,
=
a
10.01
2
 
,
=
b
47
2
 
8/3
2
=
c
  для  хаотического 
режима. Система интегрировалась методом Рунге–Кутты 4-го порядка с 
шагом 
001
.
0

h
  без  динамического  шума,  и  данные  перевыбирались  с 
шагом 
h
t
4


.  Амплитуда  измерительного  шума  1%  от  дисперсии 
исходного временного ряда. 
 
По  графику  автокорреляционной  функции  (рис.1.7.2)  определяли 
характерные  периоды 
t
T


71
1
  и 
t
T


71
2
,  а  так  же  нули 
автокорреляционных функций 
t
R


18
01
 и 
t
R


18
02

 
 
Рис.1.7.2. Автокорреляционные функции для систем Лоренца в хаотическом режиме.  
Для временного ряда 
1
z
 – чѐрный график, для временного ряда 
2
z
 – серый график. 
 
Рис.1.7.1.  Временные  ряды  двух  систем  Лоренца  в  хаотическом  режиме:
1
z
  – 
чѐрный график, 
2
z
 – серый график. 

 
46 
Для всех дальностей прогноза (

) подбирался оптимальный лаг (l
при порядке полинома 
3

P
 (рис.1.7.3, а) и 
5

P
 (рис.1.7.3, б). В обоих 
случаях зависимости сложные, но похожие между собой, наблюдаются 
склоны  и  горизонтальные  участки,  связанные  с  точкой  в  нуле 
автокорреляции  и  с  точкой,  лежащей  через  характерный  период  и  два 
характерных периода. 
 
При  использовании  кубического  аппроксимирующего  полинома 
чувствительность  метода  везде примерно одинаковая.  В  неправильную 
сторону  метод  показывает  наибольшую  специфичность  при  малых 
дальностях  прогноза  вплоть  до 
T
2
1


  и  при  дальностях  прогноза, 
равных характерному периоду (
T


) (рис.1.7.4). 
 
Рис.1.7.3.  Зависимость  оптимального  лага  (l)  от  дальности  прогноза  (

)  для  систем 
Лоренца  в  хаотическом  режиме.  Для  временного  ряда 
1
z
  –  чѐрный  график,  для 
временного  ряда 
2
z
  –  серый  график.  Слева  при  порядке  полинома 
3

P
,  справа  при 
порядке полинома 
5

P


 
47 
 
 
Рис.1.7.4.  Двухпараметрическая  карта  значимости  улучшения  прогноза  ( PI )  от 
коэффициента связи ( ) и дальности прогноза (

) для систем Лоренца в хаотическом 
режиме при использовании кубического аппроксимирующего полинома. В правильную 
строну (слева) и в неправильную (справа). 

 
48 
1.8 Выводы 
Если ориентироваться на чувствительность метода, то получаются 
следующие результаты. 
Для процессов авторегрессии первого порядка с ростом дальности 
прогноза  чувствительность  метода  падает,  т. е.  предпочтительными 
являются единичные дальности прогноза. Это согласуется с тем фактом, 
что такие сигналы не имеют выделенного временного масштаба. 
Для  сигналов  с  единственным  основным  временным  масштабом: 
процессов  авторегрессии  второго  порядка,  систем  Фитцхью-Нагумо, 
систем  Рѐсслера  в  периодическом  режиме  практически  для  всех 
дальностей  прогноза  чувствительность  метода  одинаковая,  причѐм  для 
единичных  дальностей  прогноза  чуть  лучше.  Только  при  дальности 
прогноза,  равной  или  характерному  периоду  (T)  или  его  половине, 
чувствительность  падает,  поскольку  улучшение  предсказательной 
способности  индивидуальной  модели  ухудшает  работу  метода. 
Индивидуальная модель описывает только одну из взаимодействующих 
подсистем.  Однако  если  подсистемы  взаимодействуют,  то  их  можно 
рассматривать  как  одну  систему,  и  достаточно  сложная  хорошо 
подобранная  модель,  построенная  по  одному  ряду,  может  хорошо 
описывать  динамику  всей  системы  в  целом.  В  этом  случае  улучшение 
прогноза  будет  незначительным,  что  приведет  к  уменьшению 
чувствительности метода. 
Для  хаотических  режимов  систем  Рѐсслера  и  Лоренца 
чувствительность  метода  на  всех  дальностях  прогноза  примерно 
одинаковая.  Чуть  лучше  метод  работает  при  дальностях  прогноза, 
равных  половине  характерного  периода  (
T
2
1


)  и  характерному 
периоду (
T


). И чуть хуже при единичных дальностях прогноза. 
Критерий  качества  модели  невозможно  построить,  анализируя 
только  чувствительность  метода.  Поэтому  анализируется  также 
специфичность метода, т.е. ищется связь в неправильную сторону. 

 
49 
Для  процессов  авторегрессии  первого  и  второго  порядка 
специфичность  у  метода  очень  хорошая,  связь  не  обнаруживается  для 
всех дальностей прогноза в широком диапазоне связей. 
Для  систем  Фитцхью-Нагумо  связь  обнаруживается  для 
маленьких дальностей прогноза; для систем Ресслера — для маленьких 
дальностей  прогноза  и  для  дальностей  прогноза  в  районе  половины 
характерного периода 
T
2
1



Для  хаотических  процессов:  для  систем  Рѐсслера  связь 
обнаруживается  для  маленьких  дальностей  прогноза,  а  так  же  для 
дальностей  прогноза  в  диапазоне  от  половины  характерного  периода 
T
2
1


  до  характерного  периода 
T


;  для  систем  Лоренца  —  в 
диапазоне от 
T
2
1


 до 
T



Подводя итог, можно порекомендовать брать дальность прогноза, 
равную  четверти  характерного  периода  (
T
4
1


).  Хотя  в  отдельных 
примерах  это  может  быть  не  самым  лучшим  выбором,  в  среднем 
оказывается, что в таком случае мы получаем хорошую специфичность 
метода при достаточно хорошей чувствительности.  
Результаты,  представленные  в  первой  главе,  опубликованы  в 
работах [Сысоева, 2012а; Сысоева, 2009а; Сысоева, 2011а]. 
1   2   3   4   5   6   7


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет