Основные понятия математической логики
жүктеу/скачать 180.45 Kb. Pdf көрінісі
|
|
1
(повышенный уровень, время – 2 мин) Тема: Основные понятия математической логики. Про обозначения К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике ( ∧ , ∨ ,
), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает ∧ и
∨ . Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение). В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек ( ∧ ,
, ¬ ), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.
•
условные обозначения логических операций ¬ A, A
не A (отрицание, инверсия) A ∧ B, B A ⋅
A и B (логическое умножение, конъюнкция)
B A +
A или B (логическое сложение, дизъюнкция)
→
импликация (следование) •
«Логика») •
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»: A →
или в других обозначениях
→
B A +
•
«ИЛИ», и самая последняя – «импликация» •
иногда полезны формулы де Моргана 1 : ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B B A B A + = ⋅
B A B A ⋅ = + Пример задания: Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬((X > 2)→(X > 3))? 1) 1 2) 2
3) 3 4) 4
Решение (вариант 1, прямая подстановка): 1)
определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках 2)
выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних скобках: X X > 2 X > 3 (X > 2)→(X > 3) ¬((X > 2)→(X > 3)) 1 0 0
2 0 0
3 1 0
4 1 1
1 Огастес (Август) де Морган – шотландский математик и логик.
2
3) по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке): X X > 2 X > 3 (X > 2)→(X > 3) ¬((X > 2)→(X > 3)) 1 0 0 1
2 0 0 1
3 1 0 0 4 1 1 1
4)
значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот): X X > 2 X > 3 (X > 2)→(X > 3) ¬((X > 2)→(X > 3)) 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 3 1 0 0 1 4 1 1 1 0 5)
таким образом, ответ – 3. Возможные ловушки и проблемы: •
можно «забыть» отрицание (помните, что правильный ответ – всего один!) •
можно перепутать порядок операций (скобки, «НЕ», «И», «ИЛИ», «импликация») •
нужно помнить таблицу истинности операции «импликация», которую очень любят составители тестов 2
этот метод проверяет только заданные числа и не дает общего решения, то есть не определяет все множество значений X, при которых выражение истинно
1)
обозначим простые высказывания буквами: A = X > 2, B = X > 3 2)
тогда можно записать все выражение в виде
¬(A → B) или
B A →
3)
выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше): ¬(A → B)= ¬(¬A ∨
B) или B A B A + = →
4) раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем ¬(¬A ∨
B)= A ∧
¬B
или B A B A ⋅ = +
5) таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно ( X > 2), а B – ложно (
X ≤ 3), то есть для всех X, таких что
< X ≤ 3 6)
из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию, 7)
таким образом, ответ – 3. Возможные проблемы: •
нужно помнить законы логики (например, формулы де Моргана) •
при использовании формул де Моргана нужно не забыть заменить «И» на «ИЛИ» и наоборот •
X > 3
является X ≤ 3, а не X < 3
2 … но которая, к сожалению, почти не нужна на практике. ☺
3
1)
A = X > 2, B = X > 3 2)
тогда исходное выражение можно переписать в виде ¬(A→B)=1 или A→B=0 3)
импликация A→B ложна в одном единственном случае, когда A = 1 и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X ≤ 3 4)
из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию, 5)
таким образом, ответ – 3. Выводы: 1)
в данном случае, наверное, проще третий вариант решения, однако он основан на том, что импликация ложна только для одной комбинации исходных данных; не всегда этот прием применим 2)
второй и третий варианты позволяют не только проверить заданные значения, но и получить общее решение – все множество X, для которых выражение истинно; это более красиво для человека, обладающего математическим складом ума.
4
3 : 1)
Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
< 5)→(X < 3)) ∧
< 2)→(X < 1))
1) 1 2) 2 3) 3
4) 4 2)
Для какого числа X истинно высказывание
> 3) ∨
< 3)) →(X < 1)
1) 1 2) 2 3) 3
4) 4 3)
Для какого числа X истинно высказывание X > 1 ∧
< 5)→(X < 3)) 1) 1
2) 2 3) 3
4) 4 4)
Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)? 1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР 5)
Первая буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)? 1)abedc 2)becde
3) babas 4) abcab 6)
Для какого числа X истинно высказывание (X > 2) ∨
> 5)→(X < 3) 1) 5 2) 2 3) 3
4) 4 7)
Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2) ∨
> 4)) →(Z > 3) будет ложным? 1) 1
2) 2 3) 3
4) 4 8)
Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква имени согласная → Третья буква имени гласная)? 1) ЮЛИЯ 2) ПЕТР
3) АЛЕКСЕЙ 4) КСЕНИЯ 9)
(Y < 5) ∧
((Y > 1) → (Y > 5)) будет истинным? 1) 1
2) 2 3) 3
4) 4
3 Источники заданий: 1.
Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004‐2011 гг. 2.
Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. — СПб: Тригон, 2009. 3.
Якушкин П.А., Лещинер В.Р., Кириенко Д.П. ЕГЭ 2010. Информатика. Типовые тестовые задания. — М: Экзамен, 2010. 4.
Крылов С.С., Ушаков Д.М. ЕГЭ 2010. Информатика. Тематическая рабочая тетрадь. — М.: Экзамен, 2010. 5.
Якушкин П.А., Ушаков Д.М. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010. Информатика. — М.: Астрель, 2009. 6.
НИИ школьных технологий, 2010. 7.
Самылкина Н.Н., Островская Е.М. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010. 8.
учащихся. — М.: Интеллект‐центр, 2011. 9.
Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.
5
10) Для какого символьного выражения верно высказывание:
(Первая буква согласная) ∧
(Вторая буква гласная)? 1) abcde 2) bcade 3) babas 4) cabab 11)
Для какого имени истинно высказывание: (Вторая буква гласная → Первая буква гласная)
Последняя буква согласная? 1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН 12)
¬ (Первая буква согласная → Последняя буква гласная) ∧
Вторая буква согласная? 1) ИРИНА 2) СТЕПАН
3) МАРИНА 4) ИВАН 13)
Для какого имени истинно высказывание: (Первая буква согласная → Вторая буква согласная)
Последняя буква гласная? 1) КСЕНИЯ 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН 14)
¬ (Вторая буква гласная → Первая буква гласная) ∧
Последняя буква согласная? 1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) МАРИЯ 4) СТЕПАН 15)
¬ (Первая буква согласная → Последняя буква согласная) ∧
Вторая буква согласная? 1) ИРИНА 2) СТЕПАН
3) МАРИЯ 4) КСЕНИЯ 16)
Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква гласная → Вторая буква гласная) ∧
Последняя буква гласная? 1) ИРИНА 2) МАКСИМ
3) АРТЕМ 4) МАРИЯ 17)
Для какого названия животного ложно высказывание: Заканчивается на согласную ∧ В слове 7 букв →
(Третья буква согласная)? 1) Верблюд 2) Страус
3) Кенгуру 4) Леопард 18)
Для какого названия животного ложно высказывание: В слове 4 гласных буквы ∧
¬ (Пятая буква гласная) ∨
1) Шиншилла 2) Кенгуру
3) Антилопа 4) Крокодил 19)
Для какого названия животного ложно высказывание: Четвертая буква гласная → ¬ (Вторая буква согласная)? 1) Собака 2) Жираф
3) Верблюд 4) Страус 20)
Для какого слова ложно высказывание: Первая буква слова согласная → (Вторая буква имени гласная ∧
согласная)? 1) ЖАРА
2) ОРДА 3) ОГОРОД 4) ПАРАД
6
21) Для какого числа X истинно высказывание
8
1) 5
2) 6 3) 7
4) 8 22)
Для какого числа X истинно высказывание
7
1) 4
2) 5 3) 6
4) 7 23)
Для какого символьного набора истинно высказывание: Вторая буква согласная ∧
(В слове 3 гласных буквы ∨ Первая буква согласная)? 1) УББОШТ 2) ТУИОШШ
3) ШУБВОИ 4) ИТТРАО 24)
Для какого имени ложно высказывание: (Первая буква гласная ∧ Последняя буква согласная) →
(Третья буква согласная)? 1) ДМИТРИЙ 2) АНТОН
3) ЕКАТЕРИНА 4) АНАТОЛИЙ 25)
Для какого имени истинно высказывание: Первая буква гласная ∧ Четвертая буква согласная ∨
В слове четыре буквы? 1) Сергей 2) Вадим
3) Антон 4) Илья 26)
Для какого числа X истинно высказывание
(
(X < 4) →(X < 3)) ∧ (
1) 1 2) 2 3) 3
4) 4 27)
Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква согласная → Вторая буква согласная) ∧
Последняя буква согласная? 1) ИРИНА 2) МАКСИМ
3) СТЕПАН 4) МАРИЯ 28)
Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Первая буква согласная → Последняя буква согласная) ∧
Вторая буква согласная? 1) ИРИНА 2) СТЕПАН
3) КСЕНИЯ 4) МАРИЯ 29)
Для какого имени истинно высказывание: (Первая буква согласная → Вторая буква согласная)
Последняя буква гласная? 1) КСЕНИЯ 2) МАКСИМ
3) СТЕПАН 4) МАРИЯ 30)
Для какого имени истинно высказывание: ¬ (Последняя буква гласная → Первая буква согласная) ∧
Вторая буква согласная? 1) ИРИНА 2) АРТЁМ
3) СТЕПАН 4) МАРИЯ 31)
Для какого слова истинно высказывание: ¬ (Первая буква согласная → (Вторая буква согласная ∨
Последняя буква гласная))? 1) ГОРЕ 2) ПРИВЕТ
3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН 32)
Для какого имени истинно высказывание: (Первая буква согласная → Вторая буква гласная)
Последняя буква согласная?
7
1) АЛИСА 2) МАКСИМ
3) СТЕПАН 4) ЕЛЕНА 33)
Для какого имени истинно высказывание: (Вторая буква гласная → Первая буква гласная)
Последняя буква согласная? 1) АЛИСА 2) МАКСИМ
3) СТЕПАН 4) ЕЛЕНА 34)
Для какого названия реки ложно высказывание: (Вторая буква гласная → Предпоследняя буква согласная)
Первая буква стоит в алфавите раньше третьей? 1) ДУНАЙ 2) МОСКВА
3) ДВИНА 4) ВОЛГА 35)
Для каких значений X и Y истинно высказывание:
∨
(Y+X < 0) ∧
(X > 1)? 1)
X = 0,5; Y = -1,1
2) X = 1,1; Y = -4
3) X = -1; Y = -4
4) X = -1/10; Y = -1,1 36)
Для какого слова истинно высказывание: (Вторая буква согласная ∨
Последняя буква гласная) → Первая буква гласная)? 1) ГОРЕ
2) ПРИВЕТ
3) КРЕСЛО 4) ЗАКОН 37)
Для какого имени истинно высказывание: Первая буква согласная ∧ ( ¬ Вторая буква согласная →
Четвертая буква гласная)? 1) ИВАН 2) ПЕТР
3) ПАВЕЛ 4) ЕЛЕНА 38)
Для какого названия станции метро истинно высказывание: (Первая буква согласная →
Название содержит букву «л»)? Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают). 1) Маяковская 2) Отрадное
3) Волжская 4) Комсомольская 39)
Для какого названия города истинно высказывание: (Первая буква гласная ∧
Последняя буква гласная) ~
Название содержит букву «м»)? Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают). 1) Москва 2) Дюссельдорф 3) Амстердам 4) Атланта Каталог: attach attach -> Г. Кукуевицкого» «Освоение хроматизма» attach -> Ходячая Аномалия attach -> Шпаргалка по биологии для казахских школ на ент 2014 +10 градуста өне бастайтын өсімдік: Күнбағыс attach -> Рабочая программа по предмету «стоматологические материалы и оборудования» attach -> Показания для госпитализации в эндокринологическое отделение Достарыңызбен бөлісу:
|