Методическое пособие для преподавателей и студентов

Уравнения Лагранжа 1

Методика проведения занятий по теоретической механике 1

Рекомендовано 1

Объединённой методической комиссией Института открытого 1

образования и филиалов ННГУ для преподавателей и студентов, 1

обучающихся по направлениям подготовки 1

«Прикладная математика и информатика», 1

«Механика и математическое моделирование» 1

Рекомендовано для преподавателей и студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Прикладная математика и информатика», «Механика и математическое моделирование». 3

Рекомендовано 3

Объединённой учебно-методической комиссией Института открытого 3

образования и филиалов ННГУ для преподавателей и студентов, 3

обучающихся по направлениям подготовки 3

«Прикладная математика и информатика», 3

«Механика и математическое моделирование» 3

Предисловие 5

Введение 6

Система обозначений 8

1. Уравнения Лагранжа 9

2. Жозеф Луи Лагранж 10

3. Вывод уравнений Лагранжа 13

4. Основные свойства уравнений Лагранжа 16

5. Уравнения Лагранжа в потенциальном поле сил 18

6. Формы записи уравнений Лагранжа 19

7. Выражение ускорения в криволинейных координатах и уравнения Лагранжа 20

8. Использование уравнений Лагранжа 22

9. Алгоритм решения задач на построение уравнений движения в форме уравнений Лагранжа 24

Заключение 48

Литература 49

Методика проведения занятий 50

по теоретической механике 50

Предисловие

Сохранение и развитие образования в области механики [10] связано с решением нескольких ключевых задач, среди которых отметим проблему обеспечения учебного процесса необходимой литературой, а также лабораторным оборудованием, вычислительной и оргтехникой и т.д.

В то же время едва ли не самой сложной и тревожащей проблемой в сохранении и развитии образования в области классической механики является задача сохранения и воспроизводства научно-преподавательских кадров. Опытнейшие педагоги и методисты, специалисты-механики, учёные и практики стареют и уходят, а смены им практически нет.

Сохранив методику преподавания, есть надежда, что сохранится и образование в области механики, даже если произойдёт разрыв между поколениями. Но и здесь существует проблема: вопросами методики преподавания в высшей школе уделяется крайне малое внимание (исключение, пожалуй, составляют математика и информатика). По основным разделам механики существуют очень хорошие учебники и задачники, базирующиеся на основополагающих работах отечественных учёных и педагогов: Н.Е. Жуковского, А.Н. Крылова, С.А. Чаплыгина, И.В. Мещерского [8], Н.Н. Бухгольца [2], Н.В. Бутенина [1] и др.

Но хороший учебник – книга для учителя и ученика – ещё не означает хорошую методику преподавания. Таким образом, чрезвычайно актуальным является разработка, публикация и распространение методик преподавания и отдельных разделов, и механики в целом.

Введение

Теоретическая механика – наука о наиболее общих законах механического движения и равновесия макроскопических твёрдых тел.

Изменение относительного положения этих тел с течением времени называется механическим движением.

С одной стороны теоретическая, или классическая механика – раздел физики и одна из самых математизированных частей естествознания. С другой – часть прикладной математики.

Теоретическая механика – классический мировоззренческий естественнонаучный курс, современное содержание которого определяется трудами в первую очередь отечественных учёных и педагогов.

Университетский курс теоретической механики – один из основных фундаментальных курсов при подготовке студентов по специальностям «Механика», «Прикладная математика и информатика», «Математика» и др.

Курс теоретической механики обычно делится на два раздела: кинематику и кинетику. Кинетика в свою очередь разделяется на статику и динамику.

Кинематика – раздел механики, изучающий движение с чисто геометрических позиций, без учёта причин (сил, пар сил), вызвавших и обусловивших это движение.

Статика – раздел механики, изучающий общие законы равновесия (покоя) с учётом причин (силы, пары сил, связи) обусловливающих это равновесие. Может рассматриваться как частный случай динамики, однако методы и технологии статики имеют самостоятельное значение, и изучение кинетики чаще всего начинается именно со статики.

Динамика – раздел механики, изучающий общие законы движения с учётом причин его вызвавших и обусловивших (силы, пары сил, связи).
В 1687 г., опубликовав «Математические начала натуральной философии», Исаак Ньютон (1643-1727) заложил основы классической (теоретической) механики. Ньютон сформулировал законы, носящие его имя и являющиеся аксиомами, на основе которых строится всё здание классической механики. Это направление развития механики называют иногда векторной механикой.

В то же время современник Ньютона Готфрид Вильгельм Лейбниц (1654-1721) основал другое направление механики, развитое позднее в работах Л. Эйлера (1707-1783) и Ж.Л. Лагранжа (1736-1813) и получившее название аналитической механики.

Аналитическая механика – математическая дисциплина, в которой физический мир находит своё опосредованное представление. Основу аналитической механики составляют вариационные принципы [9], представляющие собой исходные положения, которые математически выражаются некоторыми вариационными соотношениями. Из аксиоматически принятых вариационных принципов могут быть выведены все уравнения движения и теоремы векторной механики.

Один из наиболее распространенных способов составления дифференциальных уравнений движения голономной системы с идеальными связями разработан Жозефом Луи Лагранжем и изложен в его классической работе «Аналитическая механика» [7] в 1788 г. Уравнения Лагранжа составляют фундамент так называемой лагранжевой механики.

В отечественной учебной литературе уравнения Лагранжа часто называются уравнениями Лагранжа 2-го рода [1, 2, 5].

Уравнениями Лагранжа 1-го рода называют, предложенные Лагранжем [7] уравнения движения системы материальных точек, перемещения которых ограничены наложенными гладкими связями.

Далее везде в тексте под термином «уравнения Лагранжа» понимаются уравнения Лагранжа 2-го рода.

Выводу уравнений Лагранжа, анализу и их использованию в конкретных задачах следует уделять особое внимание как при чтении курса «Теоретическая механика», так и, в особенности, курса «Аналитическая механика». Требуется методически грамотно построить изложение этого материала, сочетая наибольшую доступность для понимания слушателей с обоснованностью и строгостью выводов.

Основная теоретическая часть настоящего пособия опубликована в статье [6] и в пособии [11], выпущенном на бумажном носителе:

Емельянова И.С., Смирнов Л.В., Шуваев Д.Н. Методические аспекты преподавания раздела механики «Уравнения Лагранжа» / Вестник ННГУ. Серия «Инновации в образовании». Выпуск 1(2). – Н. Новгород: ННГУ, 2001. – с. 121-126.

Шуваев Д.Н. Уравнения Лагранжа: Методика проведения занятий по теоретической механике / Пособие для преподавателей и студентов. – Н.Новгород: ННГУ, 2005. – 72 с.

Автор настоящего пособия, пользуясь случаем, выражает искреннюю благодарность профессору Инне Сергеевне Емельяновой и профессору Льву Васильевичу Смирнову за внимание, терпение, взаимную поддержку и понимание во время совместной работы.

Каталог: students -> src
src -> Учебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Анализ хозяйственной деятельности»
src -> Н. И. Лобачевского Пособие к практическим занятиям по молекулярной биологии. Часть исследование
src -> А. В. Клемина, И. Ю. Демин, Н. В. Прончатов-Рубцов медицинская акустика: ультразвуковая диагностика медико-биологических сред
src -> История и методология
src -> Антаков С. М. История и философия физики и математики: вопросы и программы кандидатского экзамена. Литература и рекомендации по подготовке к экзамену Учебно-методическое пособие
src -> Е. А. Кальясова Ю. В. Синицына
src -> Учебно-методическое пособие Нижний Новгород, 2005
src -> Очистки веществ
src -> Контрольные вопросы по теме занятия. Данное руководство предназначено для студентов медико-биологического профиля
src -> Антропо-этнографический словарь