Конспект лекций по дисциплине математическая картография (4 семестр) Новосибирск сгга общие теоретические положения



Дата18.07.2017
өлшемі207.25 Kb.
#41419
түріКонспект лекций
Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Сибирская государственная геодезическая академия»

(ФГБОУ ВПО «СГГА»)

Институт геодезии и менеджмента

Кафедра картографии и геоинформатики

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ
(4 СЕМЕСТР)

Новосибирск

СГГА

1. Общие теоретические положения

1.1. Понятие о земном эллипсоиде и сфере

Физическая поверхность Земли имеет сложную форму, которая не может быть описана замкнутыми формулами. В силу этого для решения практических задач земную поверхность заменяют некоторой правильной поверхностью, которая носит название поверхности относимости.

В самом точном приближении такой поверхностью является поверхность геоида. В настоящее время под поверхностью геоида понимают уровенную поверхность, ортогональную к отвесным линиям, по которым в каждой точке поверхности направлен вектор силы тяжести. Эта уровенная поверхность проходит через точку начала отсчета высот. Однако геоид имеет сложную форму и не может быть описан замкнутыми формулами. Поэтому в теории и практике картографии за поверхность относимости принимают либо земной эллипсоид, либо сферу определенного радиуса.

Земной эллипсоид – это эллипсоид вращения с малым сжатием, размеры которого и ориентировка в теле Земли выбраны таким образом, чтобы для заданной территории он наименее уклонялся от геоида. При этом полагают, что плоскость экватора и центр эллипсоида вращения совпадают с плоскостью экватора и центром масс Земли. Такой земной эллипсоид иначе называют референц-эллипсоидом.

Постановлением Совета Министров от 7 апреля 1946 г. за такой референц-эллипсоид у нас в стране принят референц-эллипсоид Красовского. Он имеет следующие параметры:

a = 6 378 245 км – большая полуось;

b = 6 356 863 км – малая полуось;

с = 1 : 298,3 – полярное сжатие.

1.2. Элементы геометрии эллипсоида вращения

Эллипсоид вращения (в дальнейшем для краткости будем применять термин «эллипсоид») образуется вращением эллипса PNE1PSE2 вокруг полярной оси PNPS (рис. 1). Точки PN, PS являются, соответственно, северным и южным полюсами эллипсоида. Они получаются сечением оси PNPS поверхности эллипсоида.

Сечения поверхности эллипсоида вращения плоскостями, параллельными плоскости экватора, образуют окружности – параллели. Сечения поверхности эллипсоида вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, образуют эллипсы – меридианы.

Рис. 1. Эллипсоид вращения
и его элементы

Пусть ОК – нормаль к поверхности эллипсоида в точке К (рис. 1). Плоскости, проходящие через нормаль, называются нормальными плоскостями. Сечения этих плоскостей с поверхностью эллипсоида дают нормальные сечения, или вертикалы. Тогда меридиан – это нормальное сечение, плоскость которого проходит через полярную ось. Нормальное сечение, перпендикулярное плоскости меридиана PNЕ1PSЕ2, дает сечение 1-го вертикала.

Радиусы кривизны этих сечений определяются следующими формулами:

– радиус кривизны меридиана;

– радиус кривизны 1-го вертикала;

где – 1-й эксцентриситет;



a и b – большая и малая полуоси эллипсоида вращения.

Радиус параллели (r) вычисляется через радиус кривизны первого вертикала



r = N cos .

В некоторых случаях земную поверхность для решения практических задач принимают за поверхность сферы:

1) при создании мелкомасштабных карт (когда можно пренебречь полярным сжатием);

2) когда нет возможности получить непосредственно проекцию эллипсоида на плоскости (в этих случаях прибегают к двойным проекциям: проектируют эллипсоид на сферу, а затем сферу, по тому же закону, – на плоскость).



1.3. Система координат и координатных линий
на поверхности эллипсоида и сферы

Положение точки на поверхности эллипсоида может быть определено


в той или иной системе координат. Основная система координат – географическая с (рис. 2).

Рис. 2. Система географических координат на эллипсоиде вращения



Географическая широта есть угол между плоскостью экватора и нормалью ОМ текущей точки М (рис. 2). Широта меняется от 0 до 90.

Географическая долгота () есть двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана текущей точки М. Долгота изменяется от
0 до 180 на запад и восток от начального меридиана. При картографических расчетах западные долготы берутся со знаком «минус», восточные – со знаком «плюс».

Кроме рассмотренной системы координат, существует целый ряд других, используемых в математической картографии:

- прямоугольная сфероидическая;

- сферическая полярная и др.



Под координатными линиями следует понимать геометрические места точек, для которых одна из координат постоянна. Например, параллель есть геометрическое место точек равных широт ( = const), а меридиан есть геометрическое место точек равных долгот ( = const).
Рис. 3. Система географических координат на сфере

В тех случаях, когда Земля принимается за сферу, географическими координатами называют сферические координаты , с полюсом системы координат, совпадающим с географическим полюсом (рис. 3).

Сферическая широта  – угол между плоскостью экватора и радиус-вектором ОМ текущей точки М.

Сферическая долгота  – двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана текущей точки М.

Координатными линиями для этой системы координат будут линии параллелей


( = const) и линии меридианов ( = const).

1.4. Понятия о картографической проекции и сетке

Под картографической проекцией понимается некоторый определенный математический закон отображения поверхности относимости на плоскость, при котором всегда выполняются следующие требования:

- точке, взятой на поверхности, соответствует одна и только одна точка на плоскости и наоборот;

- бесконечно малому перемещению точки на поверхности соответствует также бесконечно малое перемещение точки на плоскости и наоборот;

- сохраняется направление обхода контуров на поверхности и на плоскости.

Проекция устанавливает однозначное и непрерывное соответствие между точками поверхности эллипсоида (сферы) и плоскости. Это соответствие может быть задано уравнениями вида

, (1)

где функции f1 и f2 всегда однозначные, дважды непрерывно дифференцируемые и имеют Якобиан – определитель системы (1) – ;

  – координаты точки на поверхности эллипсоида;

X, Y координаты точки на плоскости.

Такой системой двух уравнений может быть представлена любая картографическая проекция. Но вид функции (1) может быть разнообразным в зависимости от принятых систем координат на поверхности эллипсоида вращения (сферы).

Совокупность двух семейств координатных линий на поверхности эллипсоида вращения (сферы) принято называть координатной сетью. Изображение же этой сети на плоскости в заданной проекции называется картографической сеткой.

Любая картографическая проекция обладает рядом присущих ей характеристик, которые будут определяться принятым законом отображения. Чаще всего для описания проекций пользуются следующими характеристиками: m, n, p, ,  a, b, :



m – масштаб длин по меридиану;

n масштаб длин по параллели;

p масштаб площади;

 – наибольшее угловое искажение;

 – угол между меридианом и параллелью;

a, b – экстремальные масштабы;

 – сближение меридианов.



1.5. Понятия о масштабах и наибольшем угловом искажении

На любой карте, составленной в определенной проекции, следует различать три масштаба: частный линейный, масштаб площади, главный (общий).

В общем случае частным линейным масштабом (масштабом длин) называют предел отношения бесконечно малого отрезка , взятого на плоскости в заданной проекции в данной точке по данному направлению, к соответствующему бесконечно малому отрезку на поверхности при стремлении последнего к нулю. Обозначим его через . Тогда

.

Однако, учитывая, что всегда есть функция , частный масштаб можно определить выражением



.

Этот масштаб в общем случае меняется при переходе от одной точки


к другой и меняется в самой точке в зависимости от направления. Поэтому
m и n – это есть масштабы по направлениям меридианов и параллелей соответственно; a и b – масштабы по главным направлениям (взаимно-ортогональным), вдоль которых масштабы всегда экстремальны.

Масштабом площадей называется отношение бесконечно малой области, ограниченной замкнутым контуром, взятой на плоскости к соответствующей бесконечно малой области на поверхности эллипсоида Его обозначим через , тогда

Масштаб площадей зависит от положения точки, но не меняется в самой точке по направлениям.



Главный (общий) масштаб характеризует степень уменьшения земной поверхности при изображении ее на плоскости. Этот масштаб представляет некоторое значение из частных масштабов длин или характеризует степень уменьшения характерных линий (средний меридиан, экватор). Он подписывается на карте и никакого влияния на величины искажений не имеет.

Под наибольшим угловым искажением ω понимается разность между азимутом линейного отрезка на эллипсоиде и изображением этого азимута на плоскости А:

 /2 = (- А)max.

1.6. Классификация картографических проекций

Все картографические проекции классифицируются по ряду признаков,


в том числе, по характеру искажений, виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки, положению полюса нормальной системы координат.

1.6.1. Классификация картографических проекций


по характеру искажений

По характеру искажений различают следующие картографические проекции:



а) равноугольные, или конформные.

В этих проекциях масштабы длин в точках не зависят от направления, как следствие, сохраняется подобие в бесконечно малых частях, углы и азимуты передаются без искажений. Эти проекции могут быть описаны уравнениями в характеристиках вида



; (2)

б) равновеликие, или эквивалентные.

В этих проекциях без искажения передаются площади изображаемых территорий. Они описываются характеристическими уравнениями вида



Р = 1,

или, что однозначно дифференциальному уравнению



Н = R2 cos ; (3)

в) равнопромежуточные.

В этих проекциях линейный масштаб по одному из главных направлений равен единице, т. е. имеет место

либо а = 1, либо b = 1; (4)

г) произвольные.

К этим проекциям относятся такие, которые не отвечают ни одному из выше перечисленных условий. Они имеют угловые, площадные и линейные искажения.



1.6.2. Классификация картографических проекций
по виду меридианов и параллелей нормальной сетки

Изображение сети меридианов и параллелей на карте в заданной проекции принято называть основной картографической сеткой.



Нормальной сеткой называется наиболее простое изображение на плоскости в заданной проекции той или иной координатной сети, взятой на поверхности.

Принята следующая классификация проекций по этому признаку:

- азимутальные,

- цилиндрические,

- конические,

- псевдоцилиндрические,

- псевдоконические,

- поликонические,

- произвольные.

Далее приводятся определения и эскизы картографических сеток, которые могут встретиться при выполнении данного задания:



а) азимутальные проекции.

В этих проекциях параллели нормальных сеток изображаются одноцентренными окружностями, меридианы – пучком прямых линий с точкой схода, совпадающей с центром параллелей. Углы между меридианами равны углам в натуре (рис. 4);

Рис. 4. Вид картографической сетки азимутальной проекции

Азимутальные проекции - поверхность Земного шара (эллипсоида) переносится на касательную или секущую плоскость (рис.5). Если плоскость перпендикулярна оси вращения, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция (рис.5а). Параллели в ней являются концентрическими окружностями, а меридианы - радиусами этих окружностей. В этой проекции картографируют полярные области.

Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости экватора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная проекция. Она всегда используется для карт полушарий (рис.5б). А если проектирование выполнено на касательную или секущую вспомогательную плоскость, находящуюся под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция (рис.5в).




в.

Точка нулевых

искажений

б.

а.


c:\users\елена\pictures\азимут проекция.png

Рис.5 Азимутальные проекции: а – нормальная, б – поперечная, в - косая

Можно сказать, что азимутальные проекции являются предельным случаем конических, когда угол при вершине конуса как бы становится равным 180°.

Условные проекции - проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя их каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности к условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и другие проекции, полученные путём преобразования одной или нескольких исходных проекций.

б) цилиндрические проекции.

Рис. 6. Вид картографической сетки цилиндрической проекции

В этих проекциях параллели нормальных сеток есть прямые параллельные линии, меридианы – также прямые линии, ортогональные к параллелям. Расстояния между меридианами равны и всегда пропорциональны разности долгот (рис. 6);

Цилиндрические проекции - проектирование с шара (эллипсоида) ведётся на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость. Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а поверхность касается шара по экватору (или сечёт его по параллелям), то проекция называется нормальной (прямой) цилиндрической (рис.7а).
Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели - тоже в виде прямых, перпендикулярных к меридианам. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.


б.

а.

в.
c:\users\елена\pictures\цилиндр проекции.png

Рис.7 Цилиндрические проекции

а – нормальная, б – поперечная, в - косая

Рис. 8. Вид картографической сетки псевдоцилиндрической проекции

Если ось цилиндра расположена в плоскости экватора, то это - поперечная цилиндрическая проекция (рис.7б). Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вытянутые с севера на юг. В тех случаях, когда ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора, проекция называется косой цилиндрической (рис.7в). Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

в) псевдоцилиндрические проекции.

Нормальная сетка имеет следующий вид: параллели изображаются прямыми параллельными линиями, меридианы – кривыми линиями, симметричными относительно среднего прямолинейного меридиана, который всегда ортогонален параллелям (рис. 8).



Конические проекции (рис.9) - поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхности касательного или секущего конуса, после чего она как бы разрезается по образующей и разворачивается в плоскость. Точно так же, как и в предыдущем случае различают нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпадает с осью вращения Земли, поперечную коническую - ось конуса лежит в плоскости экватора и косую коническую - если ось конуса наклонена к плоскости экватора.

c:\users\елена\pictures\коническая.png

конич2

Рис. 9 Коническая проекция

В нормальной конической проекции меридианы представляют собой прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели - дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус касается Земного шара или сечёт его в районе средних широт, поэтому в такой проекции удобнее всего картографировать вытянутые с запада на восток в средних широтах территории России, Канады, США.

Условные проекции - проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя их каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности к условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и другие проекции, полученные путём преобразования одной или нескольких исходных проекций.

Псевдоконические проекции - такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан - прямая линия, а остальные меридианы - кривые, причём кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана(рис.10-б). Применяют для карт России, Евразии и других материков.

а. б. в. г.

Рис. 10 Условные проекции

Поликонические проекции - проекции, получаемые как бы в результате проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов. В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана (рис.10-в). Чаще всего эти проекции применяются для карт мира.

Псевдоазимутальные проекции - видоизменённые азимутальные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях параллели представляют собой концентрические окружности, а меридианы - кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов (рис.10-г). Поперечные и косые псевдоазимутальные проекции имеют общую овальную форму и обычно применяются для карт Атлантического океана или карт Атлантического океана вместе с Северным Ледовитым океаном.

Многогранные проекции ~ проекции, получаемые путём проектирования на поверхность многогранника, касательного или секущего шар (эллипсоид). Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции, причём полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Топографические и обзорно-топографические создают исключительно в многогранной проекции, и рамка каждого листа представляет собой трапецию, составленную линиями меридианов и параллелей.

1.6.3. Классификация картографических проекций


по положению полюса нормальной системы координат

В зависимости от положения полюса нормальной системы Ро (рис. 11), все проекции подразделяются на следующие:

Рис. 11. Положение полюса нормальной системы (Ро) в косой картографической прпппроекциипроекциипроекции

а) прямые или нормальные – полюс нормальной системы Ро совпадает с географическим полюсом (о = 90);

б) поперечные или экваториальные – полюс нормальной системы Ро лежит на поверхности в плоскости экватора (о = 0);

в) косые или горизонтальные – полюс нормальной системы Ро располагается между географическим полюсом и экватором (0 < о <90).

В прямых проекциях основная и нормальная сетки совпадают. В косых и поперечных проекциях такого совпадения нет.



Проекция Гаусса-Крюгера
При создании средне- и крупномасштабных тематических карт чаще всего используется равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Это объясняется тем, что основным источником при камеральном способе создании карт такого масштаба служат карты топографические, созданные именно в этой проекции.

История применения проекции Гаусса - Крюгера на эллипсоиде Бесселя для составления топографических карт масштаба крупнее 1:500 000 в нашей стране началась в 1928 году, а с 1939 - и для масштаба 1:500 000.

В апреле 1946 г. Постановлением Правительства СССР были утверждены новые исходные данные, характеризующие систему координат 1942 года, и в качестве математической поверхности Земли был принят референц - эллипсоид Красовского со следующими параметрами: большая полуось (а) - 6 378 245 м, малая полуось (b) - 6 356 863 м, сжатие (j) - 1:298,3.

С июля 2002 года в России в качестве Государственной принята система координат 1995 года (СК-95).

Определение точных параметров эллипсоида вращения - задача очень сложная и на протяжении многих десятилетий эти параметры, полученные разными способами и различными инструментальными средствами, постоянно уточняются. Например, в 1984 году на основе спутниковых измерений специалистами нескольких стран были определены параметры так называемого международного эллипсоида WGS-84 (World Geodetic System) [1], в котором большая полуось а = 6 378 137м; малая полуось b = 6 356 752м; сжатие j = 1:298,257.

Таким образом, чем точнее определены параметры эллипсоида, т.е. чем ближе математическая поверхность к поверхности геоида, тем, в конечном счете, меньше величины искажений в рассчитанных картографических проекциях.

В 1825 г. Гаусс решил задачу по изображению одной поверхности на другой с сохранением подобия в беконечно малых частях (например, углов). Частный случай этой задачи – отображение поверхности эллипсоида вращения на плоскости. Гаусс применил данную проекцию для численной обработки ганноверской триангуляции, после чего проекция практически не применялась. В 1912 г. Крюгер вывел и опубликовал рабочие формулы этой проекции. После этого проекция получила полное название: равноугольная поперечно - цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера и нашла широкое применение в топографо-геодезических работах.



В проекции Гаусса-Крюгера поверхность эллипсоида на плоскости отображается по меридиальным зонам (рис.12), ширина которых равна 6°(для карт масштабов 1: 500 000 - 1:10 000) и 30 (для карт масштабов 1:5 000- 1: 2 000). Проекция равноугольная, средний меридиан изображается прямой линией без искажений, экватор тоже прямая линия, перпендикулярная осевому меридиану. Все остальные меридианы и параллели криволинейны и симметричны относительно среднего меридиана и экватора. Однако кривизна меридианов настолько мала, что западные и восточные рамки карты изображаются прямыми линиями. Параллели, совпадающие с южной и северной рамками карты, изображаются прямыми на картах масштабов 1:2 000 - 1:50 000; на картах более мелкого масштаба они изображаются кривыми линиями. Начало прямоугольных координат каждой зоны находится в точке пересечения осевого меридиана зоны с экватором (О) на рис.13б.

Искажения нарастают в направлениях от среднего меридиана к крайним. Изоколы (линии, соединяющие точки с одинаковой величиной того или иного показателя искажений) имеют вид овалов, вытянутых вдоль среднего меридиана. Данная проекция применяется для составления топографических карт в многополосном варианте. Полосы на поверхности ограничены меридианами с разностью долгот в 60 и 30.



c:\users\елена\pictures\гауссс.png

Рис.12 Проекция Гаусса – Крюгера




Х



О



Y

Y



Километровая сетка



Географический меридиан

меридиан




Х

а. б.


Рис.9 Цилиндрическая проекция Гаусса: а - проектирование зон на поверхность цилиндра; б – одна зона проекции

Каждая зона проектируется на поверхности своего цилиндра, касающегося эллипсоида по осевому меридиану зоны (рис.13а). Развернув поверхность цилиндра на плоскость, получают изображение зоны (рис.13б). При развертывании осевой меридиан изображается без искажений прямой линией, его и принимают за ось абсцисс – ХХ. Экватор изображается тоже прямой, перпендикулярной к осевому меридиану, принимается за ось ординат – YY (рис.9б).

Долгота осевого меридиана первой шестиградусной зоны =30, номер зоны N и долгота осевого меридиана L0 в градусах связаны между собой и определяется по формуле: L0= 6N – 30, где N – номер зоны, а номер зоны Nзоны = Nколонны – ЗО , т.к. счет колонн идет с запада на восток против хода часовой стрелки от Гринвичского меридиана с долготой L = 0о. Территорию России покрывают 29 шестиградусных зон с номерами от 4 до 32. Осевые меридианы имеют долготы 21, 27,… ,183,189. Каждая зона переносится на плоскость независимо от остальных и имеет самостоятельную систему координат. Зона простирается от осевого меридиана на запад и восток по 30. Это составляет примерно 330 км в обе стороны. Следовательно, в любой зоне координаты Х и Y могут быть с положительными и отрицательными значениями.


X

б.

а.

Осевой меридиан

Y

X
Системы координат в каждой зоне идентичны. Для территорий, лежащих к северу от экватора (в северном полушарии), абсциссы Х – положительны, но ординаты, лежащие к западу от осевого меридиана, получают знак минус. Для того, чтобы исключить из обращения отрицательные ординаты и облегчить пользование прямоугольными координатами на топографических картах,ко всем ординатам добавляют постоянное число 500 000м, т.е. нуль вынесен на запад на 500 км.

В этом случае ординаты всех точек зоны имеют положительное значение. Такие ординаты называют приведенными.

Чтобы знать, к какой зоне относятся координаты, к значению ординаты слева приписывают номер зоны. В результате получается условное значение ординаты. Например, условная ордината 27 349 817 м означает, что точка с этой ординатой расположена в 27-ой зоне, её истинная ордината = -150 183м.

Максимальные искажения в шестиградусной зоне находятся на экваторе, на краю зоны и составляют +0,14%.

На рамках листов карт, расположенных вблизи граничного меридиана, штрихами показывают выходы координатных линий соседней зоны. Таким образом координатные сетки двух соседних зон частично перекрывают друг друга. Эти перекрытия позволяют установить координатную связь между объектами, расположенными в разных зонах. Предусмотрены следующие величины перекрытия координатных зон к востоку и к западу от граничного меридиана: 10 до параллели с широтами 280; 20 в полосе широт 28-760 и 30 выше параллелей с широтами760.

Для топографических планов масштабов 1:5 000 и крупнее применяют трехградусные зоны, для которых осевые меридианы совпадают с осевыми и граничными меридианами шестиградусных зон.



На высоких широтах листы топографических карт получаются узкими и неудобными для практического использования, поэтому выше параллели 600, карты составляют сдвоенными по долготе, а выше 760 – счетверёнными.




Достарыңызбен бөлісу:




©stom.tilimen.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет