Канонические уравнения

Источник: http://www.pm298.ru

Поверхности второй степени

     Сфера радиуса R с центром в начале координат:

     Параметрические уравнения:

     Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):

     Эллипсоид (рис. 4.18)

     Каноническое уравнение:

      - трехосный эллипсоид;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

      - сфера.

     Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .

     Конус второй степени (рис. 4.19)

     a = b - конус вращения (прямой круговой).

     Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
Однополостный гиперболоид (рис. 4.20)
     Каноническое уравнение:

     a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Горловой эллипс:   

     Асимптотический конус:   

     Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

     Прямолинейные образующие

     Через произвольную точку проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами и где:

     В частности, если точку выбирать на горловом эллипсе то уравнениями прямолинейных образующих будут:

     Каноническое уравнение:

     a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Асимптотический конус:

     Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .

     Эллиптический параболоид (рис. 4.22)

     Каноническое уравнение:

     p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

     Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .


Гиперболический параболоид (рис. 4.23)

     Каноническое уравнение:

     Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

     Прямолинейные образующие

     Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие:

     Эллиптический цилиндр (рис. 4.24)

     Каноническое уравнение:

при a = b - круговой цилиндр.

     Каноническое уравнение:

     Каноническое уравнение:

     Общее уравнение

определяет одну из следующих поверхностей: