Если связность полусимметрическая или кососимметри- ческая, то максимальная размерность группы равна Ключевые слова Многообразие Римана-Картана, автоморфизмы, группа Ли



Pdf көрінісі
Дата15.10.2018
өлшемі121.51 Kb.

Proc. Intern. Geom. Center 2012 5(2) 2734

d?

Автоморфизмы



пространственно-временного

многообразия Римана-Картана

Владимир Иванович Паньженский

Аннотация Доказано, что размерность группы Ли автоморфизмов

пространственно-временного многообразия Римана-Картана (M

4

, g,



)

не

превосходит 8. Если связность



полусимметрическая или кососимметри-

ческая, то максимальная размерность группы равна 7.

Ключевые слова Многообразие Римана-Картана, автоморфизмы, группа

Ли.


УДК 514.76

Введение. Гладкое n - мерное многообразие M называется многообра-

зием Римана-Картана, если на M задана (псевдо) риманова метрика g и

линейная связность

с кручением S = 0, согласованная с g : g = 0 [1]. Ес-

ли n = 4, а g - псевдориманова метрика сигнатуры (+ ? ??), то M назовем

пространственно-временным многообразием Римана-Картана.

Диффеоморфизм ? : M ?? M называется автоморфизмом многооб-

разия Римана-Картана, если он оставляет инвариантным g и . Так как

=

+ T



, где

- связность Леви-Чивита метрики g, а T ее тензор дефор-

мации и из инвариантности g следует инвариантность

[2], то связность

инвариантна тогда и только тогда, когда инвариантен тензор деформации

T

. Очевидно, что инвариантность T эквивалентна инвариантности ковари-



антного тензора деформации T . Из инвариантности T (T ) следует инвари-

антность S(S) и наоборот. Таким образом множество всех автоморфизмов

многообразия Римана-Картана либо совпадает с группой движений (псевдо)

риманова многообразия (M, g) либо является ее подгруппой Ли, оставляю-



28

В. И. Паньженский

щей инвариантным тензорное поле T и, следовательно, имеет размерность

r ?


n(n+1)

2

.



В работе [3] нами доказано, что размерность группы Ли автоморфиз-

мов n - мерного многообразия Римана-Картана меньше

n(n+1)

2

и равна



n(n+1)

2

только при n = 3. Из этого утверждения следует, что размерность



группы автоморфизмов пространственно-временного многообразия Римана-

Картана меньше 10. В настоящей работе мы докажем, что размерность

группы автоморфизмов не может превосходить 8, а в случае полусиммет-

ричности или кососимметричности связности максимальная размерность

группы автоморфизмов пространственно-временного многообразия Римана-

Картана равна 7.

1. Теорема 1. Размерность группы Ли автоморфизмов пространственно-

временного многообразия Римана-Картана не превосходит 8. Если связность

?

полусимметрическая или кососимметрическая, то размерность группы не



превосходит 7.

Доказательство. Пусть G группа Ли автоморфизмов пространственно-

временного многообразия Римана-Картана M. Стационарная подгруппа

точки x


0

индуцирует группу изотропий G

0

в касательном пространстве



E = T

x

0



M

, которая является подгруппой псевдоортогональных преобразо-

ваний псевдоевклидова векторного пространства E = E

4

1,3



. Так как тензор

кручения ?

S

инвариантен относительно G, то значение тензорного поля ?



S

в точке x

0

является ненулевым тензором на E инвариантном относительно



G

0

. Рассмотрим ?



S

как кососимметрическое отображение E Ч E ?? E. Пусть

?

элемент алгебры Ли псевдоортогональных преобразований пространства



E, а ?

t

= expt?



- однопараметрическая подгруппа преобразований, порож-

денная ?. Тогда ? принадлежит алгебре Ли g

0

группы Ли G



0

если и только

если ?

t

оставляет инвариантным тензор ?



S

, т.е.


?

S(?


t

u, ?


t

v) = ?


t

?

S(u, v), u, v ? E, t ? R



(1)

Дифференцируя (1) по t при t = 0, получаем

?

S(?u, v) + ?



S(u, ?v) = ? ?

S(u, v)


(2)

Пусть (e


1

, e


2

, e


3

, e


4

)

- ортонормированный базис в E и S



i

jk

и ?



i

j

- компоненты



?

S

и ? в этом базисе. Тогда уравнения (2) примут вид



S

i

pk



?

p

j



+ S

i

jp



?

p

k



? S

q

jk



?

i

q



= 0

(3)


или

(S

i



pk

?

q



j

+ S


i

jp

?



q

k

? S



q

jk

?



i

p

)?



p

q

= 0



(4)

Автоморфизмы пространственно-временного многообразия Римана-Картана. 29

где ?


i

j

- символ Кронекера (единичная матрица, тождественный линейный



оператор). Таким образом мы имеем систему линейных уравнений (4) отно-

сительно неизвестных ?

p

q

элементов алгебры Ли g



0

группы Ли G

0

псевдоор-



тогональных преобразований пространства E

4

1,3



. Матрица, составленная из

элементов этой алгебры имеет вид

(?

p

q



) =

?

?



?

?

?



?

0

?



1

2

?



1

3

?



1

4

?



1

2

0



?

2

3



?

2

4



?

1

3



??

2

3



0

?

3



4

?

1



4

??

2



4

??

3



4

0

?



?

?

?



?

?

(5)



Учитывая косую симметрию по j, k выражения стоящее в скобках систе-

мы (4) и вид матрицы (5) мы получаем систему из 24 уравнений относитель-

но 6 неизвестных переменных ?

p

q



(p < q)

.Выписывая эту систему нетрудно

убедиться, что ее минимальный ранг равен 2. Действительно, для любой

ненулевой компоненты S

i

jk

мы можем указать два линейно независимых



уравнения системы (4). Пусть, например S

1

23



= 0

, тогда уравнения системы

(4) занумерованных индексами i = 1, j = 2, k = 4 и i = 1, j = 3, k = 4 имеют

вид


... + 0 · ?

2

4



+ S

1

23



· ?

3

4



= 0

... + S


1

32

· ?



2

4

+ 0 · ?



3

4

= 0



и, следовательно, линейно независимы. Если S

1

12



= 0

то имеем два линейно

независимых уравнения, занумерованных индексами i = 1, j = 1, k = 3 и

i = 1, j = 1, k = 4

:

... + S


1

12

· ?



2

3

+ 0 · ?



2

4

+ ... = 0



... + 0 · ?

2

3



+ S

1

12



· ?

2

4



+ ... = 0

и т.д. Так как ранг системы (4) не меньше двух, то размерность группы изо-

тропии G

0

не больше четырех, а размерность всей группы автоморфизмов



не более 8.

Связность ? является полусимметрической, если ее тензор кручения ?

S

имеет вид



S

i

jk



=

1

n ? 1



· (?

i

j



?

k

? ?



i

k

?



j

)

(6)



где ?

k

= S



p

pk

. Подставляя (6) в (4), получим



1

n ? 1


· (?

i

p



?

k

?



q

j

? ?



i

k

?



p

?

q



j

+ ?


i

j

?



p

?

q



k

? ?


i

p

?



j

?

q



k

? ?


q

j

?



k

?

i



p

+ ?


q

k

?



j

?

i



p

)?

p



q

= 0


или

(??


i

k

?



q

j

+ ?



i

j

?



q

k

)?



p

?

p



q

= 0


(7)

30

В. И. Паньженский

Докажем, что ранг системы (7) не меньше 3. Действительно, для каж-

дой ненулевой компоненты ?

p

мы можем указать три линейно независимых



уравнения системы (7). Пусть, например, ?

1

= 0



. Тогда уравнения системы

(7) занумерованных индексами i = j = 1, k = 2, 3, 4 имеют вид:

(??

1

k



?

q

1



+ ?

q

k



)?

1

?



1

q

+ (??



1

k

+ ?



1

k

)?



p

?

p



1

+ ... = 0

или

?

q



k

?

1



?

1

q



+ ... = 0

и, очевидно, линейно независимы. Если ?

2

= 0


, то уравнения при i = j =

2, k = 1, 3, 4

:

... + (??



2

k

?



q

2

+ ?



q

k

)?



2

?

2



q

+ (??


2

k

+ ?



2

k

)?



p

?

p



2

+ ... = 0

или

... + ?


q

k

?



2

?

2



q

+ ... = 0

линейно независимы и т.д. Так как ранг системы (7) не меньше 3, то раз-

мерность группы изотропии G

0

не более 3, а размерность группы автомор-



физмов не более 7.

Связность ? называется кососимметрической если ее ковариантный тен-

зор деформации T кососимметричны по своим аргументам. Условия косо-

симметричности тензора T является необходимым и достаточным условием

совпадения симметрической части связности ? со связностью Леви-Чивита

метрики g [4]. В этом случае T

ijk

=

1



2

S

ijk



и ковариантный тензор круче-

ния так же кососимметричен по всем индексам. Поэтому компоненты S

ijk

как и компоненты S



i

jk

вычисленные в точке x



0

. содержащие два одинаковых

индекса равны нулю. Учитывая этот факт, мы можем для любой ненулевой

компоненты S

i

jk

, i = j = k



указать три линейно независимых уравнения си-

стемы (4). Пусть, например, S

1

23

= 0



. Рассмотрим подсистему системы (4)

уравнения которой занумерованы индексами:i = 4, j = 1, k = 2; i = 4, j =

1, k = 3

и i = 4, j = 2, k = 3. Матрица состоящая из столбцов при неиз-

вестных ?

p

q



с индексами p = 1, q = 4; p = 2, q = 3 и p = 3, q = 4 имеет

вид


?

?

?



0

0 S


3

12

0



S

2

13



0

?S

1



23

0

0



?

?

?



и, очевидно, является невырожденной и , следовательно, эти уравнения ли-

нейно независимы. Таким образом и в этом случае размерность группы ав-

томорфизмов пространственно-временного многообразия не превосходит 7.


Автоморфизмы пространственно-временного многообразия Римана-Картана. 31

2. Теорема 2. Если связность ? является полусимметрической или косо-

симметрической, то максимальная размерность группы Ли автоморфизмов

пространственно-временного многообразия Римана-Картана равна 7.

Доказательство. Рассмотрим псевдориманово четырехмерное многооб-

разие M


4

с метрикой стационарной модели Вселенной [5]

ds

2

= dx



02

? e


2Hx

0

· (dx



12

+ dx


22

+ dx


32

),

(8)



где x

0

= ct



, H - постоянная Хаббла красного смещения. Вычисляя тензор

кривизны пространства M

4

убеждаемся в справедливости следующего ра-



венства

R

ijkl



= ?H

2

(g



il

g

jk



? g

ik

g



jl

),

(9)



где g

ij

- компоненты метрического тензора g. Это означает, что M



4

является


пространством постоянной секционной кривизны k = ?H

2

. Поэтому группа



движений этого пространства имеет максимальную размерность 10.

Рассмотрим замкнутую подгруппу G

7

группы движений G



10

, содержа-

щую все движения пространственного сечения E

3

и оставляющую инвари-



антным единичное векторное поле ортогональное E

3

. Операторы этой под-



группы имеют следующий вид

?

?



, ?x

?

?



?

+ x


?

?

?



, ?

1

H



?

0

+ x



?

?

?



(? < ?, ?, ? = 1, 2, 3)

(10)


В (10) первые 6 векторных полей являются базисными операторами группы

движений G

6

евклидова пространства E



3

, а седьмое векторное поле найдено

из условия инвариантности относительно этого поля метрики (8) простран-

ства M


4

и единичного векторного поля, ортогонального E

3

. Для векторных



полей (10) выписывая уравнения инвариантности ковариантного тензора де-

формации T

?

p

?



p

T

ijk



+ ?

i

?



p

T

pjk



+ ?

j

?



p

T

ipk



+ ?

k

?



p

T

ijp



= 0

(11)


и интегрируя полученную систему дифференциальных уравнений в част-

ных производных относительно неизвестных функций T

ijk

, учитывая ко-



сую симметрию по последним двум индексам, находим компоненты тензора

деформации, инвариантного относительно G

7

T

110



= T

220


= T

330


= ?T

101


= ?T

202


= ?T

303


= a · e

2Hx


0

, (a = const)

T

123


= T

231


= T

312


= ?T

132


= ?T

213


= ?T

321


= b · e

3Hx


0

, (b = const)

остальные T

ijk


= 0

. Таким образом мы имеем пространственно-временное

многообразие M

4

с группой автоморфизмов G



7

максимальной размерности,



32

В. И. Паньженский

базисные операторы которой имеют вид (10) и структурой Римана-Картана

(g, T )


где

g = dx


0

? dx


0

? e


?2Hx

0

· (dx



1

? dx


1

+ dx


2

? dx


2

+ dx


3

? dx


3

)

(12)



T = a · e

2Hx


0

?

dx



?

? dx


?

? dx


0

+ b · e


3Hx

0

dx



1

? dx


2

? dx


3

(13)


Если a = 0, то T

ijk


кососимметричен по всем индексам и мы имеем косо-

симметрическую связность. Если b = 0, то связность ? является полусим-

метрической, так как, очевидно T

ijk


=

1

3



· (g

ik

?



j

? g


ij

?

k



)

при ?


j

= (3r, o, o, o)

.

Замечание. В теории Эйнштейна-Картана кручение вводится для геомет-



ризации спиновой плотности материи. При этом спин представлен некото-

рым ковектором, который и должен определять кручение. В нашем случае

на эту роль может претендовать полусимметрическая часть связности. На-

личие кососимметрической части говорит о том, что кручение может и не

представлять спина.

3. В пространственном сечении (x

0

= const)


, которое является евклидовым

пространством E

3

тензор кручения имеет вид



S = s · dx

1

? dx



2

? dx


3

(14)


где постоянную s мы назовем кручением пространства.

Исследуем закон параллельного перенесения вектора в связности ? с

кососимметрическим кручением (24). Находим коэффициенты ?

?

k



ij

связности

?

:

?



?

3

12



= ?

?

1



23

= ?


?

2

31



= ? ?

?

3



21

= ? ?


?

1

32



= ? ?

?

2



13

= s


(15)

остальные нули. Уравнения параллельного переноса

dv

k

dt



+ ?

?

k



ij

dx

i



dt

v

j



= 0

(16)


вектора v

k

= v



k

(t)


вдоль кривой x

k

= x



k

(t)


примут вид

dv

1



dt

+ s(


dx

2

dt



v

3

?



dx

3

dt



v

2

) = 0



dv

2

dt



+ s(

dx

3



dt

v

1



?

dx

1



dt

v

3



) = 0

(17)


dv

3

dt



+ s(

dx

1



dt

v

2



?

dx

2



dt

v

1



) = 0

Исследуем подробнее параллельное перенесение, например, вектора

v(1, 0, 0)

вдоль кривой x

1

= 0, x


2

= 0, x


3

= t


т.е. вдоль оси x

3

прямоугольной



Автоморфизмы пространственно-временного многообразия Римана-Картана. 33

декартовой системы координат в E

3

. Уравнения (27) в этом случае выглядят



так:

dv

1



dt

? sv


2

= 0


dv

2

dt



+ sv

1

= 0



(18)

dv

3



dt

= 0


Интегрируя систему (28), находим ее общее решение

v

1



=

c

2



1

+ c


2

2

cos(st ? ?



0

)

v



2

= ?


c

2

1



+ c

2

2



sin(st ? ?

0

)



(19)

v

3



= c

3

,



где ?

0

= arctg



c

2

c



1

.

Из начальных условий следует, что c



1

= 1, c


2

= c


3

= 0


. Поэтому при

параллельном переносе конец вектора v описывает винтовую линию

?

?

r = ?



?

r {cos(st), sin(st), t},

(20)

лежащую на прямом геликоиде, который заметается осью x



1

при параллель-

ном переносе ее вдоль оси x

3

.



Список литературы

1. И. А. Гордеева, В. И. Паньженский, С. Е. Степанов. Многообразия Римана-Картана

// М. Итоги науки и техники, 2009. - Т.123. - С. 110  141.

2. Л. П. Эйзенхард. Непрерывные группы преобразований // М. ИЛ  1947.

3. М. А. Марко, В. И. Паньженский. О группе автоморфизмов структуры Римана-

Картана // Proce. of the Inter. Geom. Cen. 2009, Vol.2, ќ4. P. 51  56.

4. К. Яно, C. Бохнер. Кривизна и числа Бетти // М. ИЛ  1957.

5. Я. Б. Зельдович, Н. Д. Новиков. Строение и эволюция Вселенной // М., Наука, 1975.

Владимир Иванович Паньженский

ПГПУ, Пенза, Россия

E-mail: kaf_geom@mail.ru.


34

В. И. Паньженский

Vladimir Panzhensky

PSPUniversity, Penza, Russia.

Automorphisms of Riemann-Cartan spatiotemporal diversity

It has been proved that the dimension of Lie group automorphisms of Riemann-

Cartan spatiotemporal diversity (M

4

, g,



)

does not exceed 8. If the coherence

is semisymmetric or antisymmetric, the maximum dimension of the group is

equal to 7.





Достарыңызбен бөлісу:


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет