Диссертация на соискание учјной степени



Pdf көрінісі
бет1/5
Дата24.10.2018
өлшемі5.01 Kb.
  1   2   3   4   5

ФГБОУ ВПО Саратовский государственный университет
имени НFГF Чернышевского
На правах рукописи
КОРНИЛОВ Максим Вячеславович
Оценка связанности колебательных систем методом
причинности по Грейнджеру при использовании
моделей с полиномиальной нелинейностью
HIFHRFHQ " Радиофизика
Диссертация на соискание учјной степени
кандидата физикоEматематических наук
Научный руководительX
кандидат физикоEматематических наукD
Сысоев Илья Вячеславович
Саратов " PHIS

P
Оглавление
Введение
4
1 Влияние выбора структуры модели на работоспособность
метода нелинейной причинности по Грейнджеру
16
IFI Введение F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IT
IFP Описание метода F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IV
IFQ Тестирование на эталонных примерах F F F F F F F F F F F F F F PH
IFR Выводы F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT
2 Оптимальный подбор параметров прогностической модели
в методе нелинейной причинности по Грейнджеру в прило-
жении к сигналам, характеризуемым хорошо выраженными
временными масштабами
39
PFI Введение F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QW
PFP Методика исследования работоспособности метода F F F F F F F RP
PFQ Численный эксперимент F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RT
PFR Выводы F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TI
3 Исследование эффективности метода нелинейной причин-
ности по Грейнджеру в случае частичной фазовой синхро-
низации
65
QFI Введение F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TS
QFP Методика исследования работоспособности метода F F F F F F F TV
QFQ Обсуждение результатов F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UP

Q
QFR Выводы F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UU
Приложение метода причинности по Грейнджеру к исследова-
нию изменения архитектуры связей в ЭЭГ у детей, больных
ДЦП
80
Заключение
88
Литература
96

R
Введение
Задача определения наличия и направления связи между различныE
ми подсистемами сложных систем по их экспериментальным наблюдаемым
временным рядам актуальна во многих областях знанияX радиофизикеD техE
нике передачи информацииD биомедицинских приложенияхD климатологииD
экономике и в другихF Для еј решения было разработано множество метоE
довD среди нихX вычисление взаимной корреляционной функцииD в том числе
различные обобщения на нелинейный случай ‘I“D функции когерентности ‘P“D
коэффициента фазовой синхронизации ‘Q“D функция взаимной информации
@различные подходы к еј вычислению изложены в ‘R!V“AD информации взаE
имодействия ‘W“D позволяющей охарактеризовать связь между тремя переE
меннымиD энтропии переноса ‘IH“D а также подходыD основанные на испольE
зовании прогностических моделей ‘IIDIP“F Последние интересны в том числе
темD что позволяют получить не только информацию о наличии связанности
системD но и о еј направленностиF
К таким подходам относится и метод причинности по Грейнджеру ‘IQ“D
являющийся известным способом оценки влияния одной системы на другую
по записям их колебаний @временным рядамAF Согласно данному методу стеE
пень влияния одной системы на другую оценивается по изменению точности
прогноза поведения первой системы при введении в прогностическую матеE
матическую модель данных о колебаниях второй " уменьшение ошибки
прогноза истолковывается как признак влияния второй системы на первуюF
Методы был разработан применительно к эконометрикеD однако сейчас он

S
успешно применяется в самых различных задачахX в физиологии " для выE
явления связей между различными отделами головного мозга ‘IR!IW“D мозE
гом и конечностью ‘ISD PH“D в климатологии " для исследования взаимоE
связи между индийским муссоном и ЭльEНиньо ‘PI“ и изучения глобальных
климатических процессов ‘PP“F Изначально использовались только линейные
моделиD однако на данный момент активно применяются также и нелинейE
ные ‘PHDPQDPR“F
На практике далеко не всегда удајтся построить модельные уравнения
системы исходя из первых принципов " на основе универсальных законов
природы с учјтом особенности моделируемого объектаF Поэтому часто реE
ализуется эмпирический подход к построению прогностических моделей "
они реконструируются по временным рядамF Прототипом такого подхода
является аппроксимация точек на плоскости функциейF Когда стали доE
ступны высокопроизводительные компьютерыD сформировалась концепция
динамического хаоса и стало ясноD что сложное поведение может описыE
ваться и достаточно простыми нелинейными уравнениямиD границы и возE
можности применения эмпирического подхода существенно расширилисьF
К настоящему времени накоплен значительный опыт конструирования и
реконструкции динамических систем различных классов ‘PS!PU“F ТакD для
решения задачи поиска связанности методом причинности по Грейнджеру
в качестве прогностических моделей часто используются отображения поE
следования с полиномиальными функциями ‘PHDPV“F
Опыт моделирования по временным рядам показывает ‘PW“D что обеспеE
чение эффективности реконструкции модельных уравнений требует разраE
ботки и использования специальных технологий подбора параметровF При
реконструкции полиномиальных моделейD используемых при оценке приE
чинности по ГрейнджеруD важны выбор параметров процедуры реконструкE
ции вектора состоянийX его размерности @числа точекA и лага @расстояния

T
между точкамиAD а также дальности прогноза @расстояния от предсказываE
емой точки до наиболее близкой к нему точки вектора состоянияA и порядE
ка полиномаF Теоретически согласно теореме Такенса всегда можно взять
достаточно большую размерностьD а согласно теореме Вейерштрасса полиE
номиальные функции могут сколь угодно точно аппроксимировать любую
сложную зависимость при условии использования достаточного числа члеE
новF На практике задача упирается в недостаток данныхX конечность длины
временного рядаD недостаточная частота выборкиD невозможность наблюдеE
ния части переменных вектора состояний @наличие скрытых переменныхAD
наличие измерительных и динамических шумовF Трудности также возрасE
таютD если связанные системы находятся в процессе синхронизацииD наприE
мерD при полной синхронизации определить направление связи между ними
невозможноD поскольку их временные ряды идентичныF
Одной из основных проблем оценок связи методом причинности по
Грейнджеру является обеспечение их значимости " достоверности резульE
татаD достаточно высокой вероятности тогоD что он не является результаE
том воздействия случайных факторовF Популярным способом осуществлеE
ния такой проверки является тестирование с помощью суррогатных вреE
менных рядовD на основе которых строят доверительные интервалыF СущеE
ствует множество способов генерации таких рядов для проверки различных
нулевых гипотезF Среди них можно выделить суррогатыD сохраняющие коE
герентность сигналов ‘QH“D полученные заданием случайным образом фаз
сигналов ‘QI“D перестановкой частей временного ряда ‘QP“ @с различными
условиями перестановкиA и другиеF
Учитывая перечисленные сложностиD требуется разработать подходы
к оценке эффективности методаD в частностиD по таким параметрамD как
специфичность и чувствительностьF Чувствительность определяется темD
насколько слабую связь может детектировать методF Различные факторыX

U
ограниченность наблюдаемых временных рядовD шумы измеренийD испольE
зование слишком простых базисных функцийD недостаточная точность расE
чјтов и тFпF не позволяют определять наличие связи при сколь угодно малых
еј уровняхF Под специфичностью понимается способность метода избегать
ложно положительных результатовF Хорошая специфичность означает отE
носительно малое число ложных связей @найденных тамD где их на самом
деле нетAD а плохая " большое их числоF
Актуальность работы определяется следующимX

Следует ответить на вопросD можно ли надеяться на успех при поисE
ке направленной связи методом причинности по Грейнджеру в случае
использования в качестве эмпирических моделей отображений послеE
дования с полиномиальными функциямиD если размерность и порядок
полинома не обеспечивают должную аппроксимацию свойств объектаc
НапримерD когда колебания исследуемой системы являются хаотичеE
скимиD а временной рядD полученный с помощью реконструированной
полиномиальной моделиD демонстрирует более простое поведениеF

Без дополнительной ѕнастройкиї метод часто демонстрирует произE
вольные результаты при использовании в качестве моделей отображеE
ния последования с полиномиальными функциямиD показывая недоE
статочную чувствительность или специфичностьF Необходимо разраE
ботать технологию оптимальногоD соблюдая баланс между чувствиE
тельностью и специфичностьюD подбора параметров прогностической
моделиF

В природе многие системы находятся в синхронизованном состоянииF
Это существенно затрудняет задачу поиска направления связиF ПриE
менимость метода нелинейной причинности по Грейнджеру в режиE
махD близких к синхроннымD исследована недостаточноF

V
Целью диссертационной работы является исследование эффективE
ности метода причинности по Грейнджеру применительно к однонаправE
ленно связанным системам в случаеD когда прогностическая модель в виде
отображения последования с полиномиальными функциями качественно не
воспроизводит характер наблюдаемого временного рядаD представляющего
собой сложныеD хаотические колебанияD при наличии скрытых переменныхD
а также в случае фазовой синхронизации взаимодействующих системF
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачиX

проведена оценка эффективности метода нелинейной причинности по
Грейнджеру при использовании моделей в виде отображения последоE
вания с полиномиальными функциями для поиска направленной связи
между системами различной сложностиY

разработаны критерии оптимального подбора значений лага и дальE
ности прогноза эмпирической моделиD при которых метод позволяет
получить значимые результаты для систем с ярко выраженными хаE
рактерными временными масштабамиY

исследована эффективность метода в случае сильной фазовой синхроE
низации систем с ярко выраженными временными масштабами при
различных степенях нерегулярностиY

проведено сопоставление различных подходов к генерации суррогатE
ных временных рядов для оценки значимости величины улучшения
прогноза для однонаправленно связанных потоковых динамических
системD обладающих ярко выраженными характерными временными
масштабамиF
Объекты исследования. Эффективность метода причинности по ГрейнE
джеру с моделями в виде отображений последования с полиномиальными

W
функциями в зависимости от параметров модели тестируется на эталонных
однонаправленно связанных динамических системахX отображениях ЭноD
окружностиD ИкедыD ЗаславскогоY системахD обладающих ярко выраженныE
ми характерными временными масштабамиX РјсслераD ЛоренцаD уравнениях
генераторов КияшкоEПиковскогоEРабиновичаD АнищенкоEАстаховаD хаоса с
IFS степенями свободыF Разработанный метод оценки наличия связанности
был применјн ко временным рядам электроэнцефалограммы детейD страдаE
ющих односторонним детским церебральным параличјмF
На защиту выносятся следующие положения:
IF ТребованиеD чтобы реконструированная по временным рядам прогноE
стическая модель в виде отображения последования с полиномиальE
ными функциями качественно воспроизводила режим поведения исE
следуемого процесса не является обязательным для успеха поиска наE
правленной связи между системами методом нелинейной причинности
по ГрейнджеруF
PF Предложенные в данной работе численные критерииD первый " учиE
тывающий среднюю разницу между значениями показателя улучшеE
ния прогнозаD полученными при поиске связи в заведомо верном и
заведомо ложном направленииD и второй " учитывающий долю слуE
чаевD для которых вывод о связанности в верную сторону является
значимымD а в неверную " незначимымD позволяют подбирать дальE
ность прогноза и лаг модели для оценки связанности методом нелиE
нейной причинности по Грейнджеру по временным рядам с выраженE
ным характерным временным масштабом однонаправленно связанных
системD исходя из оптимального баланса между чувствительностью и
специфичностью с учјтом значимости результатовF
QF Метод причинности по Грейнджеру при использовании в качестве моE

IH
делей отображений последования с полиномиальными функциями позE
воляет выявить однонаправленную связь для системD обладающих ярE
ко выраженными характерными масштабами и находящихся в режиме
фазовой синхронизацииF
Достоверность научных результатов и выводов подтверждается
их воспроизводимостью в численном экспериментеD а также темD что они
опираются на базовые результаты нелинейной динамики и радиофизикиF
Научная новизна работы состоит в следующем:
IF Проведена оценка эффективности метода нелинейной причинности по
Грейнджеру для систем различной сложностиF ПоказаноD что для выE
явления направленных связей для рассмотренных классов систем доE
статочно использовать модели в виде отображений последования с поE
линомиальными функциями малой степениF
PF Разработаны критерии подбора оптимальных с точки зрения чувствиE
тельности и специфичности значений лага и дальности прогноза эмпиE
рической модели в методе нелинейной причинности по ГрейнджеруF С
их помощью показаноD что эффективность работы метода также завиE
сит и от значения старшего ляпуновского показателя системыD а также
предложены рекомендации выбора значений лага и дальности прогноE
заD при которых метод позволяет получить наилучшие результаты для
систем с выраженными характерными временными масштабамиF
QF Проведено исследование эффективности метода в случае фазовой синE
хронизации системF ПоказаноD что метод нелинейной причинности по
Грейнджеру позволяет выявить направленную связь даже в таких
неблагоприятных условияхF Наличествует интервал значений коэффиE
циента фазовой синхронизацииD при которых метод позволяет выявить

II
преимущественное направление связиD даже в случаеD когда результаE
тыD полученные при поиске связи в заведомо ложном направлении
проходят проверку на значимость с помощью суррогатных временных
рядов @при недостаточной специфичностиAF
RF Для системD обладающих ярко выраженными характерными временE
ными масштабамиD проведено сравнение различных подходов к генеE
рации суррогатных временных рядовF ПоказаноD что несмотря на тоD
что эти подходы проверяют различные нулевые гипотезыD они позвоE
ляют получить для рассмотренных систем близкие доверительные инE
тервалыD расширяющиеся с ростом значения коэффициента фазовой
синхронизацииF
Теоретическая и практическая значимость результатов.
Метод причинности по Грейнджеру находит в последние годы активное
применение к задачам нейрофизиологии и климатологииF При этом одна из
основных проблем в приложении к этим областям " недостаточный объјм
данных изEза малой длины рядовD недостаточной частоты выборки и нестаE
ционарностиF Использовать моделиD построенные из первых принциповD как
правило невозможно изEза их громоздкостиF Поэтому важно пониматьD наE
сколько могут быть применимы компактные и простые эмпирические моE
делиD напримерD с полиномиальными аппроксимирующими функциямиD исE
следованию чего посвящена данная работаF
Также многие процессы в нейрофизиологии характеризуются основным
ритмом " выделенным временным масштабомD напримерD при абсансной
эпилепсииY часто рассматриваются фильтрованные в определјнном диапаE
зоне сигналыY имеют место процессы синхронизации на разных уровнях от
групп нейронов до целых отделов головного мозгаF Для таких временных
рядов возможно повысить эффективность применения методаD опираясь на

IP
сформулированные в данной работе рекомендации по выбору лага и дальноE
сти прогнозаF Пример такого подхода продемонстрирован в ѕПриложенииїF
Личный вклад соискателя. Основные результаты диссертации поE
лучены лично авторомF В совместных работах автором выполнены все осE
новные компьютерные расчјтыD включая обработку экспериментальных данE
ныхF Постановка задачD разработка методов их решенияD выбор объектовD
изложение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с
руководителем и другими соавторамиF
Апробация результатов. Основные результаты диссертации были доE
ложены на следующих конференцияхX
IF €sss Всероссийская школаEсеминар ѕФизика и применение микроволнїF
ЗвенигородD Московская облF PHIIF
PF Всероссийская †s конференция молодых ученых ѕНаноэлектроникаD
нанофотоника и нелинейная физикаїF СаратовF PHIIF
QF Всероссийская научная школаEсеминар ѕМетоды компьютерной диаE
гностики в биологии и медицине E PHIIїF СаратовF PHIIF
RF Всероссийская научная школаEсеминар ѕМетоды компьютерной диаE
гностики в биологии и медицине E PHIPїF СаратовF PHIPF
SF Всероссийская †ss конференция молодых ученых ѕНаноэлектроникаD
нанофотоника и нелинейная физикаїF СаратовF PHIPF
TF €†s научная школа ѕНелинейные волны " PHIPїF Нижний НовгородF
PHIPF
UF €s† Всероссийская школаEсеминар ѕФизика и применение микроволнїF
МожайскF PHIQF

IQ
VF Всероссийская †sss конференция молодых учјных ѕНаноэлектроникаD
нанофотоника и нелинейная физикаїF СаратовF PHIQF
WF Всероссийская научная школаEсеминар ѕМетоды компьютерной диаE
гностики в биологии и медицине E PHIQїF СаратовF PHIQF
IHF € Международная школаEконференция ѕХаотические автоколебания
и образование структурїF СаратовF PHIQF
IIF „he sntern—tion—l gonferen™e ѕxonline—r hyn—mi™s of heterministi™ —nd
ѓto™h—sti™ ѓystemsX …nr—veling СomplexityїF ѓ—r—tovF PHIRF
IPF Всероссийская s€ конференции молодых ученых ѕНаноэлектроникаD
нанофотоника и нелинейная физикаїF СаратовF PHIRF
Также результаты неоднократно обсуждались на семинарах кафедры
динамического моделирования и биомедицинской инженерии факультета
наноE и биомедицинских технологий Саратовского государственного униE
верситета имени НFГF ЧернышевскогоF
Исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальE
ных исследований гранты ќќ IPEHPEHHQUUD IREHPEHHRWPD IIEHPEHHSWWD гранE
том от президента РФ по поддержке Ведущих Научных школ IUPTFPHIRFPD
грантом российского научного фонда IREIPEHHPWIF
По теме диссертации опубликованы IR работX Q статьи в реферируеE
мых журналахD входящих в перечень рекомендованных ВАКD II тезисов в
сборниках трудов конференцийF
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введенияD трјх главD приложенияD заключения
и списка литературыF Работа изложена на IHU страницахD содержит PT риE
сунков и список литературы из WQ наименованийF
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной раE
ботыD формулируются цели и задачи исследованияD дајтся краткий обзор

IR
существующих методов их решения и накопленных результатовD а также
формулируются положенияD выносимые на защитуD раскрываются научная
новизнаD теоретическое и практическое научное значение полученных в дисE
сертации результатовD личный вклад соискателяD кратко описывается содерE
жание работыF
В первой главе на ряде последовательно усложняющихся эталонных одE
нонаправленно связанных системD содержащих сложные нелинейные функE
цииD скрытые переменныеD в том числе описываемые дифференциальныE
ми уравнениямиD проведено исследование работоспособности метода приE
чинности по Грейнджеру в случаеD когда прогностическая модель в виде
отображений последования с полиномиальными функциями качественно не
воспроизводит динамику исследуемого объекта @не обеспечивает должную
аппроксимацию свойств объектаAF
Вторая глава диссертации посвящена оптимальному подбору параметE
ров прогностических моделей метода нелинейной причинности по ГрейнE
джеру в приложении к сигналамD характеризуемым хорошо выраженными
временными масштабамиF Для этой цели были разработаны два критерияD
позволяющиеD соблюдая баланс между чувствительностью и специфичноE
стьюD а также учитывая значимость результатовD подбирать параметры проE
гностической модели @лаг и дальность прогнозаAF
В третьей главе диссертации рассматривается важный вопрос работоE
способности метода нелинейной причинности по Грейнджеру в случае исE
следования связанности между системамиD находящихся в режиме частичE
ной фазовой синхронизацииF А также рассматриваются различные методы
создания суррогатных временных рядовF
В приложении метода причинности по Грейнджеру к исследованию изE
менения архитектуры связей в ЭЭГ у детейD больных ДЦП показано практиE
ческое использование метода для анализа медицинских данныхF Было осуE

IS
ществлено исследование изменения направления связей между отведенияE
ми поверхностной электроэнцефалограммы головного мозга детейD страдаE
ющих детским церебральным параличјмF
Результаты диссертационной работы и выводы обобщаются и обсуждаE
ются в заключенииF

IT
Глава 1
Влияние выбора структуры модели на работо-
способность метода нелинейной причинности по
Грейнджеру
1.1 Введение
Причинность по Грейнджеру " известный способ оценки влияния одной
системы на другую по записям их колебаний @временным рядамAD впервые
предложенный нобелевским лауреатом по экономике КF Грейнджером ‘IQ“F
Согласно данному методу степень влияния одной системы на другую оцениE
вается по изменению точности прогноза поведения первой системы при ввеE
дении в прогностическую математическую модель данных о колебаниях втоE
рой системыF Уменьшение ошибки прогноза истолковывается как признак
влияния второй системы на первуюF Метод неоднократно применялся для
оценки связанности экспериментальных системD напримерD между различE
ными отведениями энцефалограммы головного мозгаD напримерD ‘IRDISDQQ“D
процессами в климатологии ‘PIDQR“F Следует отметитьD что упомянутые реE
зультаты получены с помощью авторегрессионных моделей с полиномиальE
ными ‘PHD PVD QS“ или радиальными ‘PR“ базисными функциямиD а также с
использованием предложенного в ‘QT“ подхода построения нелинейных ядерE

IU
ных функцийF Выбор способа аппроксимации нелинейности в том числе опиE
рался на физиологические и физические соображенияD а достоверность реE
зультатов подтверждалась анализом характеристик остатков и с помощью
суррогатных данныхF
Но не случаен ли успехc Остајтся открытым вопрос влияния вида предE
сказательной модели на оценку причинноEследственных связей методом приE
чинности по ГрейнджеруF Ответ на него целесообразно искатьD используя в
качестве объектов эталонные связанные уравненияD так как модели реальE
ных объектовD как правилоD не единственны и вопрос их адекватности треE
бует доказательствF При таком выборе объекта нам известна его структураD
включая наличие и характер связейD что позволяет проверить правильность
оценок с помощью метода причинности по Грейнджеру при использовании
в качестве аппроксимирующих функций отображения последования с полиE
номиальными функциямиF
Целью исследования было уточнить рамки применимости методаX наE
сколько несоответствие структуры прогностической модели структуре поE
родившего временные ряды объекта существенно сказывается на чувствиE
тельности @способности почувствовать существующую связьA и специфичE
ности метода @способности определить связь в заведомо ложную сторону
как незначимуюAF Также необходимо понятьD насколько важна для диагноE
стики связанности способность построенной по экспериментальным данным
прогностической модели воспроизводить качественно наблюдаемый режим
поведенияF
Для этого в численном экспериментеD на тестовых примерах " свяE
занных однонаправленной связью уравнениях эталонных динамических сиE
стемD проверяется при различных уровнях связи работоспособность метода
причинности по ГрейнджеруF В качестве аппроксимирующих функций меE
тода используются отображения последования с полиномиальной нелинейE

IV
ностью ‘PHDPV“F
1.2 Описание метода
Пусть имеются два временных рядаX ряд {x
n
}
N
n=1
от системы X и ряд
{y
n
}
N
n=1
от системы Y D где n " дискретное времяD N " длина временного
рядаF На основе анализа реализаций {x
n
}
N
n=1
и {y
n
}
N
n=1
D которые в общем
случае содержат и шумыD требуется определитьD влияет ли система Y на
систему X или нетF На первом шаге строится индивидуальная модель
x
n
= f (x
n?1
, x
n?2
, ..., x
n?D
S
, c
S
),
@IFIA
где f " аппроксимирующая функцияD D
S
" собственная размерность модеE
лиD c
S
" неизвестный вектор коэффициентовF В качестве функции f можно
использовать разложение по некоторому базисуD напримерD степенной мноE
гочлен общего видаF В оригинальной работе ‘IQ“ использовались линейные
функцииF Коэффициенты c
S
подбираются методом наименьших квадратов
по временному ряду {x
n
}
N
n=1
F Погрешность предсказания построенной модеE
ли @среднеквадратичная ошибка аппроксимации исходного рядаA выражаE
ется следующим образомX ?
2
S
=
1
N
N
n=1
(x
n
? x
n
)
2
F
Следующим шагом строится совместная модельX
x
n
= g(x
n?1
, x
n?2
, ..., x
n?D
s
, y
n?1??
, ..., y
n?D
a
??
, c
j
),
@IFPA
где для оценки коэффициентов аппроксимирующей функции g используетE
ся также реализация системы Y D D
a
размерность добавки @число учитываE
емых значений из ряда {y
n
}
N
n=1
AY c
j
" коэффициенты совместной моделиY
?
" возможная задержкаD обусловленная конечным временем распростраE
нения сигнала @на практике часто неизвестна и должна быть определенаAF
Построив совместную модельD рассчитывают среднеквадратичную ошибку

IW
прогноза совместной модели ?
2
j
=
1
N
N
n=1
(x
n
? x
n
)
2
F При ?
2
j
< ?
2
S
говорятD
что Y действует на X @системы связаныAF
В качестве меры связанности используется показатель улучшения про-
гнозаX
P I = 1 ?
?
2
j
?
2
S
.
@IFQA
Если P I = 0 @учјт сигнала Y не помог в предсказании XAD то считаютD что
Y
не воздействует на XF Если же P I ? 1 @учјт сигнала Y существенно
улучшил предсказание XAD считаютD что Y воздействует на XF
В некоторых работахD напримерD в ‘QU“ используется другой способ норE
мировкиD когда под улучшением прогноза подразумевается величинаD равE
ная в используемых здесь обозначениях log(P I)D что может быть в некотоE
рых случаях удобнееF В ‘QV“ также показываетсяD что отсутствие нормировки
в формуле @IFQA на ?
2
S
может быть полезно для целей выявления избыточных
и взаимнозависимых переменныхF
В качестве моделей в методе нелинейной причинности по Грейнджеру
использовались отображения последования с полиномиальными функциями
общего вида @со всеми возможными перекрестными слагаемыми ‘PV“AX
x
n
=
P
k=0
C
k
D+k
q=1
a
i
D
m=1
x
w
k,m
n?m
,
@IFRA
где P " степеньD D " размерностьD a
i
" коэффициенты полиномаD w
k,m
X
?k = 0, ..., P
D
m=1
w
k,m
= k
F
Несмотря на тоD что такой подход нельзя назвать наилучшим во всех
случаях " вполне возможноD что для тех или иных объектов будет лучE
ше использовать иной базисD напримерD радиальные базисные функции ‘PR“
" полиномиальный базис является самым распространенным и простым
в использованииD требует меньшего объема данныхD чем радиальные базисE
ные или вейвлетные функции вследствие отсутствия локализации в фазовом
пространствеF

PH
В реальной ситуации всегда присутствуют шумыD длина временного ряE
да ограниченаD точность вычислений конечна и тFпFD поэтому требуется проE
водить проверку значимости выводов " оценку вероятностиD что полученE
ный результат не случаенF Известны различные виды такого тестированияX
теоретические оценки ‘QW“D использование суррогатных данных ‘PHDRH“F При
выполнении данной работы использовался только один вид суррогатовD приE
готовленных из временных рядов тех же системD что использовались в качеE
стве объектов моделированияD но без связиD на основе которых оценивалась
статистическая значимость полученных значений показателя P IF Для этого
строились ансамбли реализаций эталонных систем с добавлением каждый
раз новой реализации динамического шума и стартуя с новыхD выбранных
случайно начальных условий @переходной процесс отсекалсяAF
1.3 Тестирование на эталонных примерах
Простейшая известная эталонная система " логистическое отображеE
ниеF Она одномернаD имеет один управляющий параметрD квадратичную
нелинейность и при этом может демонстрировать сложное поведение ‘RI“F
Однако проверка работоспособности метода причинности по Грейнджеру с
моделями вида @IFID IFPA на связанных логистических отображениях почти
бессмысленнаX в такой ситуации совместная модель с полиномом второго
и любого большего порядка будет точно аппроксимировать оператор эвоE
люции эталонной системы и значения коэффициентовD заложенные в неј
при генерацииD будут воспроизведены с точностьюD определяемою исклюE
чительно точностью и вычислений и записи данныхF При этом показатель
улучшения прогноза будет равен ID а колебательный режим наблюдаемого
временного ряда будет полностью воспроизведјнD поскольку оператор эвоE
люции окажется идентиченF Поскольку в данной работе ставится цель проE

PI
верить чувствительность и специфичность метода в реалистичном случаеD
когда оператор эволюции изучаемых объектов неизвестен и почти наверняка
не может быть записан в виде отображения последования с полиномиальE
ною функциейD был рассмотрен ряд более сложных эталонных связанных
системX связанные отображения окружностиD где нелинейная функция имеE
ет вид синусоидыD связанные отображения Икеды и ЗаславскогоD для котоE
рых одна из переменных считается недоступною измерению @в отображении
Заславского нелинейные функции разрывныAD а также связанные системы
ЛоренцаF
Одним из важных вопросов является определение наличия и величиE
ны запаздывания в связиF Ряд подходов к этому описываетсяD напримерD
в ‘RP!RR“F Поскольку поиск запаздывания в связи представляет отдельную
сложную проблемуD требующую своих специализированных подходовD далее
рассматривалась только ситуацияD когда системы были связаны без запазE
дыванияD тF еF в формуле @IFPA ? = 0F
Степень полиномиальной функции P варьировалась от I до TD размерE
ность индивидуальной модели D
s
изменялась от I до RD размерность добавки
D
a
" от I до PF
Для оценки значимости использовались ансамбли из IHH рядов сурроE
гатных данных и оценивалась WS7Eая квантильF
Связанные отображения окружности
В качестве объекта исследования рассматривались два однонаправленE
но связанные уравнения отображения окружности @IFSAF Связь вносилась в
виде k sin y
n
D тFкF переменная в отображении окружности имеет смысл фазы
колебанийF Коэффициент связи k варьировался в пределах от 0.002 до 0.12
с шагом 0.002F В каждое отображение добавлялся нормально распределјнE
ный динамический шум с дисперсиейD равной 0.001F Численным решением

PP
получались временные ряд длиною в RHWT точекD переходной процесс предваE
рительно отсекалсяF Параметры для обоих отображений выбирались таким
образомD чтобы при нулевой связи и отсутствии шума они соответствовали
хаотическому поведениюX ?
x
= 0.001
D ?
y
= 0
D ?
x
= 3.98
D ?
y
= 3.88
F
x
n+1
= x
n
+ ?
x
+ ?
x
sin x
n
+ k sin y
n
+ ?
n
,
y
n+1
= y
n
+ ?
y
+ ?
y
sin y
n
+ ?
n
@IFSA
В состав отображения окружности входит непрерывная неполиномиальная
функция sin(x
n
)
F Поскольку она может быть разложена в бесконечный стеE
пенной рядD можно ожидатьD что результат работы метода нелинейной приE
чинности по Грейнджеру будет зависеть от степени полиномиальной функE
цииD используемой в моделиF
На графиках рисF IFI представлены результаты применения метода приE
чинности по Грейнджеру " значения показателя улучшения прогноза в заE
висимости от уровня связи kF В качестве аппроксимирующих функций исE
пользовались полиномы различного порядка от I до TD размерность совместE
ной модели равнялась P @D
s
= 1
D D
a
= 1
AF ВидноD что при использовании
в качестве аппроксимирующей функции полиномов первого и второго поE
рядков серая и черная линия на графике зависимости P I(k) @определение
наличия связи в верном и неверном направленииA принимают приблизиE
тельно одинаковые значения и лежат выше пунктирной линии " WS7 сурE
рогатного уровняD это говорит о томD что метод не может различить связь в
правильную и неправильную сторонуF Использование полиномов более выE
соких порядков позволяет диагностировать направленную связь в верном
направленииD тFкF значения P ID полученные при этомD возрастают с ростом
коэффициента связи kD оказываются значимыми иD более тогоD стремятся
к IF Это можно объяснить темD что с увеличением степени полиномиальE
ной функции происходит все более точная аппроксимация синусоидальных
нелинейностейD включая нелинейность в связиF

PQ
Рис. 1.1: Зависимость показателя улучшения прогноза P I от величины коэффициента
связи k при исследовании чувствительности метода на связанных отображениях окруж-
ности. Непрерывной черной линией показаны значения P I при поиске связанности в
верную сторону, серой линией  значения, полученные при поиске связи в заведомо
ложном направлении (оценка воздействия системы X на Y ), пунктирной черной линией
 95% суррогатный доверительный интервал.

PR
Рис. 1.2: Качественная проверка построенной модели: непрерывной черной линией по-
казаны значения нелинейной функции отображения окружности, а пунктирной серой 
значения, полученные при еј аппроксимации совместной моделью. Для получения се-
рой кривой функция совместной модели g(x
n
, y
n
)
рассчитывалась для всех пар значений
(x
n
, y
n
)
из экспериментального ряда, получался набор трјхмерных векторов (точек в
трјхмерном пространстве) (x
n
, y
n
, g(x
n
, y
n
))
, затем строилась проекция этого набора на
плоскость (x
n
, g(x
n
, y
n
))
, при этом точки сортировались по возрастанию x
n
.
В случаяхD когда метод демонстрирует хорошие чувствительность и
специфичностьD нелинейная функция исходной эталонной системы хороE
шо аппроксимируется входящим в предсказательную модель полиномомD
что видно на рисF IFPF Также можно сравнить динамику исходной систеE
мыD временной ряд которой получен при при значении коэффициента связи
k = 0.05
D и построенной совместной модели @рисF IFQ@—AAF Для этого исходE
ная временная реализация {x
n
}
была наложена на реализациюD полученную
путем итерирования реконструированного отображения @IFPA с начальными
условиямиD взятыми также из исходного ряда при использовании реализаE
ции {y
n
}
@рисF IFQ@?AA в качестве внешнего воздействияF ВидноD что полуE
ченная в результате работы метода совместная модель достаточно хорошо
качественно описывает динамику поведения исходной системыF

PS
Рис. 1.3: (a)  сопоставление наблюдаемого временного ряда ведомой системы  отоб-
ражения окружности, который показан черной линией, и временного ряда, восстанов-
ленного с помощью совместной модели вида (1.2) с начальными условиями, взятыми из
исходного ряда  серой линией; (b)  временной ряд ведущей системы.
Связанные отображения Икеды
В качестве второго примера были взяты два уравнения отображения
Икеды @IFTAD связанных однонаправленной нелинейной связью вида k cos(y
2
n
?
x
2
n
)
D где y " первая переменная воздействующего отображенияF Связь вноE
силась таким образомD поскольку переменные x и y в отображении Икеды
имеет смысл фазы колебанийF Коэффициент связи k варьировался в преE
делах от 0.005 до 0.5 с шагом 0.005D к обоим отображениям добавлялся
динамический шум ?
n
и ?
n
с дисперсиейD равной 0.001F
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
n+1
= A
x
+ B
x
[x
n
cos(x
2
n
+ u
2
n
+ ?
x
) ? u
n
sin(x
2
n
+ u
2
n
+ ?
x
)]+
+k cos(y
2
n
? x
2
n
) + ?
n
u
n+1
= B
x
[x
n
sin(x
2
n
+ u
2
n
+ ?
x
) + u
n
cos(x
2
n
+ u
2
n
+ ?
x
)],
?
?
?
y
n+1
= A
y
+ B
y
[y
n
cos(y
2
n
+ v
2
n
+ ?
y
) ? v
n
sin(y
2
n
+ v
2
n
+ ?
y
)] + ?
n
,
v
n+1
= B
y
[y
n
sin(y
2
n
+ v
2
n
+ ?
y
) + v
n
cos(y
2
n
+ v
2
n
+ ?
y
)]
@IFTA
Данная система сложнее для аппроксимации моделями вида @IFID IFPAD поE
скольку кроме непрерывной неполиномиальной функцииD разложимой в бесE

PT
конечный степенной рядD имеется также скрытая
1
переменная u
n
" ряд u
n
считался ненаблюдаемымD тFеF не использовался при построении прогностиE
ческой моделиF Это делает невозможным точную или асимптотически точE
ную аппроксимацию нелинейной функции в исходной эталонной системе с
помощью степенного полиномаD таким образом затрудняя решение задачи
о поиске связанностиF
От каждого отображения получали временной ряд длиною в RHWT тоE
чекD переходной процесс предварительно отсекалсяF По карте режимов выE
бирались параметры для обоих отображений такимиD чтобы при нулевой
связи и в отсутствии шума они соответствовали хаотическому поведениюX
A
x
= 4
D B
x
= 0.2
D ?
x
= 0.5
D A
y
= 6
D B
y
= 0.13
D ?
y
= 0.4
F
На графикахD представленных на рисF IFRD показаны зависимости поE
казателя улучшения прогноза от силы связи в случае использования в каE
честве аппроксимирующей модели полиномов разной степени @степень P
варьировалась от I до TAD размерность совместной модели бралась равной
Q @D
s
= 2, D
a
= 1
AF Из графиков видноD что использование в качестве апE
проксимирующей функции полинома первой степени не позволяет выявить
направленную связьD тF кF значения показателя улучшения прогноза как в
правильномD так и в заведомо ложном направлении оказываются незначиE
мымиD как и для связанных отображений окружностиF Увеличение степени
полинома позволяет детектировать связьF Значения показателя улучшения
прогноза при поиске связи в неправильную сторону не возрастают с ростом
связи во всех случаяхF Однако при больших степенях полиномаD используE
емого в качестве аппроксимирующей функцииD они оказываются значимыE
миD что может говорить о ненадјжности подходаD использующего слишком
большие моделиF Значения P I при поиске связи в правильном направлении
растут с ростом коэффициента связи kF
1
Скрытыми называют переменные, входящие в уравнения модели, но недоступные измерению или
наблюдению [45, 46].

PU
Рис. 1.4: Зависимость показателя улучшения прогноза P I от величины коэффициента
связи k при исследовании чувствительности метода на связанных отображениях Икеды.
Непрерывной черной линией показаны значения P I при поиске связанности в верную
сторону, серой линией  значения, полученные при поиске связи в заведомо ложном
направлении (оценка воздействия системы X на Y ), пунктирной черной линией  95%
суррогатный доверительный интервал.

PV
Отдельно следует отметитьD что при использовании полиномов S и T поE
рядка показатели улучшения прогноза при малых значениях коэффициента
связи принимают отрицательные значенияF Теоретически это невозможноD
но происходит на практике вследствие недостаточной точности вычислеE
нийF Одним из факторовD приводящих к этомуD является тоD что испольE
зование полиномов большой степени при аппроксимации синусоидальной
нелинейности приводит к большим ошибкам в определении минимума цеE
левой функцииF Используемая модель допускает применение линейного меE
тода наименьших квадратовD тF еF проблема не может быть обусловлена поE
паданием в локальный минимум и лежит главным образом в точности выE
численийF В работах ‘RUDRV“ показаноD что при использовании для решения
задачи наименьших квадратов Ѓ‚Eразложения и в форме вращения ХаусE
холдераD и ортогонализации ГрамаEШмидтаD ошибка в решении пропорциоE
нальна норме матрицы базисных функцийF При использовании полиномов
высоких порядков эта норма большеF Этот недостаток начинает сказыватьE
сяD когда число коэффициентов оказывается слишком велико @сам размер
матрицы возрастаетAD поэтому для совместной модели ошибка большеD чем
для индивидуальнойF
Поскольку не все переменные модели наблюдалисьD восстановить нелиE
нейную функциюD как это было сделано для отображения окружности на
рисF IFPD невозможноF Поэтому на рисF IFS приведены только временные
ряды исходной и реконструированной систем при значении коэффициенE
та связи k = 0.5F ВидноD что качественно динамика оригинальной эталонE
ной системы и предсказательной модели различныX неплохо аппроксимируя
непосредственно следующее значениеD модель в перспективе не повторяет
качественно динамику объектаD а вместо хаотического ряда демонстрируE
ет устойчивое положение равновесияD возмущаемое сигналом второго отобE
раженияF Тем не менееD метод нелинейной грейнджеровской причинности

PW
Рис. 1.5: Сопоставление наблюдаемого временного ряда ведомого отображения Икеды
(1.6), который показан черной линией, и временного ряда, восстановленного с помощью
совместной модели вида (1.2)  серый пунктир, модель итерируется с начальными усло-
виями, взятыми из самого исходного ряда. При построении предсказательной модели
использовался степенной полином степени 3, D
s
= 2
, D
a
= 1
.
демонстрирует хорошие чувствительность и специфичностьF
В приведјнном на рисF IFR примере рассмотрен случай D
s
= 2
F ПоскольE
ку вектор состояния в данной ситуации нельзя восстановить точноD можно
предполагатьD что результаты могут различаться при различных D
s
X наE
примерD ожидатьD что оптимальные результаты могут быть достигнуты при
размерности D
s
= 5
согласно теореме Такенса ‘RW“F Однако проведјнные
численные эксперименты показываютD что размерности D
s
= 2
D как праE
вило достаточноD чтобы выявить существующую связь и признать связь в
заведомо неверном направлении незначимоюF При увеличении размерности
результаты качественно не меняютсяF
Связанные отображения Заславского
Следующим объектом для исследования были выбраны два уравнения
отображения Заславского @IFUAD связанные односторонней линейной связью
вида ky
n
D где y " первая переменная воздействующего отображенияF КоэфE
фициент связи варьировался в пределах от 0.01 до 1 с шагом 0.01D к обоим
отображениям добавлялся динамический шум с дисперсией 0.001F НелинейE
ные функции отображения Заславского @IFUA являются более трудным для

QH
аппроксимацииD чем для отображения окружности и ИкедыD посколькуD поE
мимо прочего @наличие скрытой переменнойD отображение содержит непоE
линомиальную функциюAD одна из них также является разрывною за счјт
взятия остатка от деления на 2?F
?
?
?
x
n+1
= (x
n
+ ?
x
+ ?
x
sin x
n
+ a
x
u
n
+ ky
n
+ ?
n
) mod 2?,
u
n+1
= au
n
+ ?
x
sin x
n
.
?
?
?
y
n+1
= (y
n
+ ?
y
+ ?
y
sin y
n
+ a
y
v
n
+ ?
n
) mod 2?,
v
n+1
= av
n
+ ?
y
sin y
n
.
@IFUA
От каждого отображения получался временной ряд первой координаты
длиною в RHWT точекD переходной процесс предварительно отсекалсяF Для
тогоD чтобы получить хаотические режимы для систем X и Y D выбирались
следующие значения параметровX ?
x
= ?
D ?
y
= 4
D ?
x
= 4.59
D ?
y
= 4.9
D
a
x
= 0.78
D a
y
= 0.58
F
Результаты работы метода причинности по Грейнджеру в случае исE
пользования в качестве аппроксимирующих функций полиномов первого "
шестого порядков @размерность совместной модели равнялась трем @D
s
= 2
D
D
a
= 1
AA представлены на рис IFTF В случае использования полинома перE
вого порядка результаты оказываются значимыD в то время как для отобраE
жения Икеды подобная модель была неспособна обнаружить связьF Можно
предположитьD это есть следствие тогоD что связь вводилась линейноF Тем
не менееD использование в качестве аппроксимирующих функций полиноE
мов более высокого порядка позволяет достигнуть лучшей специфичности
" число ложных обнаружений связи в заведомо неправильную сторону для
них заметно меньшеF Также при использовании полиномов второго и выше
порядков показатель улучшения прогноза растет с увеличением значения
коэффициента связиD в то время как при использовании первого наблюE
дается уменьшение значения P I при больших значениях коэффициента kF
Таким образомD даже при рассмотрении линейно связанных систем испольE

QI
Рис. 1.6: Зависимость показателя улучшения прогноза P I от величины коэффициента
связи k при исследовании чувствительности метода на связанных отображениях Заслав-
ского. Непрерывной черной линией показаны значения P I при поиске связанности в
верную сторону, серой линией  значения, полученные при поиске связи в заведомо
ложном направлении (оценка воздействия системы X на Y ), пунктирной черной линией
 95% суррогатный доверительный интервал.

QP
Рис. 1.7: Сопоставление наблюдаемого временного ряда ведомого отображения Заслав-
ского (1.7), который показан черной линией, и временного ряда, восстановленного с по-
мощью совместной модели вида (1.2)  серый пунктир, модель итерируется с началь-
ными условиями, взятыми из самого исходного ряда. При построении предсказательной
модели использовался степенной полином степени 3, D
s
= 2
, D
a
= 1
.
зование нелинейных моделей может давать некоторые преимуществаF
Сравнивая временной ряд объектаD построенный при значении коэффиE
циента связи k = 0.5D и рядD сгенерированный восстановленною совместною
модельюD на рисF IFUD можно видетьD что динамика модели и объекта сущеE
ственно различнаF Как и для отображения ИкедыD воспроизвести наблюдаE
емый режим качественно не удаетсяF Это не удивительноD поскольку вектор
состояния наблюдался не полностьюD а сложные тригонометрические нелиE
нейные функции с разрывами аппроксимировались полиномами низких поE
рядковF Несмотря на это метод причинности по Грейнджеру демонстрирует
разумные результатыF
Связанные системы Лоренца
В предыдущих разделах метод причинности по Грейнджеру применяE
ли для определения связанности по рядам эталонных систем с дискретным
временемF Рассмотрим в качестве объекта два связанные однонаправленной

QQ
связью уравнения систем с непрерывным временем " систем Лоренца ‘SH“X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?x
1
= ?
1
(x
2
? x
1
)
?x
2
= x
1
(r
1
? x
3
) ? x
2
?x
3
= x
1
x
2
? b
1
x
3
+ ky
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
1
= ?
2
(y
2
? y
1
)
?
y
2
= y
1
(r
2
? y
3
) ? y
2
?
y
3
= y
1
y
2
? b
2
y
3
@IFVA
Следует отметитьD что в принципе такая постановка задачи не слишE
ком отличается от ранее рассмотренныхD поскольку аппроксимация диффеE
ренциальных уравнений разностною схемой возможна @требуется проверить
также условие сходимостиAF Однако в рассмотренном случае две из трјх
переменных каждой подсистемы системы @IFVA считались в численном эксE
перименте ненаблюдаемымиD что существенно усложняет построение модеE
лиX ситуация аналогична рассмотренной для двух связанных отображениях
ИкедыD но дополнительно присутствует спецификаD связанная с темD что
временные ряды получены от системы с непрерывным временемD в частE
ности большие времена корреляцииD спектр с выраженными максимумамиD
большое расстояние между экстремумами в реализацииF Эти особенности
отличают данную ситуацию от ранее рассмотренныхF
Линейная аддитивная связь вида ky
3
вносилась в уравнение для треE
тьей координаты x
3
D коэффициент связи k варьировался в пределах от 0.01
до 1 с шагом 0.01D шаг интегрирования брался равным 0.001F От каждой
системы получались временные ряды длиною в PHRVH точек на аттрактореF
Чтобы получить хаотические режимыD для систем выбирались следующие
параметрыX ?
1
= 10
D ?
2
= 10.5
D r
1
= 30
D r
2
= 31
D b
1
= 8/3
D b
2
= 8/3
F
Для графиковD представленных на рисF PFVD в качестве моделей испольE
зовались полиномы первого и второго порядков с индивидуальной и совE
местной размерностьюD равными I @—AD @?A и P @™AD @dAF Лаг l = 1F В случае исE

QR
Рис. 1.8: Зависимость показателя улучшения прогноза P I от величины коэффициен-
та связи k при исследовании чувствительности метода на связанных однонаправленной
связью системах Лоренца при использовании: (a), (b)  линейной модели (размерность
совместной модели 2 и 4 соответственно), (с), (d)  нелинейной модели с порядком по-
линома 2 (размерность совместной модели 2 и 4 соответственно). Непрерывной черной
линией показаны значения P I при поиске связанности в верную сторону, серой линией 
значения, полученные при поиске связи в заведомо ложном направлении (оценка воздей-
ствия системы X на Y ), пунктирной черной линией  95% суррогатный доверительный
интервал.

QS
Рис. 1.9: Сопоставление наблюдаемого временного ряда третьей координаты ведомой си-
стемы Лоренца, которая показана черной линией, и временного ряда, восстановленного с
помощью совместной модели вида (1.2)  серый пунктир, модель итерируется с началь-
ными условиями, взятыми из самого исходного ряда. При построении предсказательной
модели использовался степенной полином степени 2, D
s
= 4
, D
a
= 1
.
пользования в качестве линейной модели полинома I степени @рисF IFV @—AD @?AA
результаты оказываются значимы только при больших значениях размерE
ности @рисF IFV @?AA и то при значениях коэффициента связи k ? 0.8F НелиE
нейная модель @рисF IFV @™AD @dAA с полиномом второго порядка в качестве
аппроксимирующей функции позволяет выявить связь @рисF IFV @dAAD начиE
ная с вдвое меньших значений коэффициента связи k ? 0.5D а значения
показателя улучшения прогноза P I оказываются большеD чем при испольE
зовании линейной моделиF
При поиске связи в заведомо ложном направлении присутствует небольE
шой рост значений P ID однако результаты оказываются незначимы на осE
нове WS7 доверительного интервала для всех рассмотренных значений коE
эффициента связиF
На рисF IFW представлено сравнение исходного временного рядаD построE
енного при значении коэффициента связи k = 0.6D и рядаD полученного с
помощью совместной моделиD видноD что модельное уравнение полностью
не описывает динамику системыF Однако метод нелинейной причинности
по Грейнджеру и в этом случае позволяет получить значимые результаты
в заведомо верном направлении и незначимые " в заведомо ложномD тF еF

QT
проходит проверку как на чувствительностьD начиная с некоторого значения
коэффициента связиD так и на специфичностьF
1.4 Выводы
На примере ряда последовательно усложняющихся эталонных одноE
направленно связанных систем @системыD содержащие неполиномиальные
функцииD скрытые переменныеD разрывные функцииD описывающиеся дифE
ференциальными уравнениямиA изучалась работоспособность метода приE
чинности по Грейнджеру при использовании в качестве моделей многомерE
ных отображений последования с полиномами общего вида в качестве апE
проксимирующих функцийF Метод в таком виде уже неоднократно примеE
нялся для различных реальных объектовD в частностиD нейрофизиологичеE
ских и климатологическихF
В результате на ряде численных примеров было показано следующееF

Чувствительность и специфичность метода зависят от качества апE
проксимации как нелинейных функций ведомой системыD так и внешE
него воздействияF Слишком сильное упрощение этих функций в предE
сказательной модели может привести к падению в первую очередь спеE
цифичностиX метод перестајт различать связь в верном и ошибочном
направленияхF При этом лучшая аппроксимация нелинейных функций
приводит к возможности выявления связи при меньших величинах коE
эффициента связиF

При достаточно высоких степенях и размерностях полинома метод
верно диагностирует связь даже в случаяхD когда прогностическая
модель существенно отличается от эталонных уравнений изEза налиE
чия скрытых переменныхD причјм работоспособность сохраняется для
временных рядов с различными статистическими характеристикамиX

QU
типичных как для систем с дискретным временемD так и с непрерывE
нымF Анализ аттрактора реконструированной прогностической модеE
ли показываетD что она ведјт себя принципиально непохоже на ряд этаE
лонной системыX вместо хаотического режима демонстрирует устойчиE
вое равновесие или периодический режимD возмущаемый воздействием
второй подсистемыF Таким образомD оказываетсяD что работоспособE
ность метода напрямую не зависит от способности прогностической
модели воспроизводить режим поведения наблюдаемой системыD хотя
и может быть с нею связанаF

Слишком большое число коэффициентов приводит к нежелательным
последствиямF ВоEпервыхD предсказательная модель начинает описыE
вать не процессD а конкретные особенности измеренного рядаD в том
числе конкретную реализацию шумаF Это является одною из причин
тогоD что метод начинает показывать значимую связь в заведомо ложE
ном направленииF ВоEвторыхD возрастают ошибки определения коэфE
фициентовD поэтому минимум целевой функции определяется неточно
иD как следствиеD рассчитанное улучшение прогноза может принимать
произвольныеD в том числе отрицательные значенияF
По результатам работы можно выработать следующие общие рекоменE
дацииF

СледуетD по возможностиD использовать нелинейные моделиD они в цеE
лом демонстрируют лучшую специфичность и лучшую чувствительE
ностьF

Нужно следить за точностью вычислений и числом коэффициентовD
поскольку возможность переобучения модели и рост влияния численE
ных ошибок могут привести к неверным и даже нефизичным выводамF
Одним из индикаторов такого поведения является получения отрицаE

QV
тельных значений улучшения прогноза P ID теоретически невозможE
ныхF
Следует отметитьD что при проверке качественного соответствия режиE
ма поведения объекта и построенной при применении метода причинности
по Грейнджеру совместной прогностической моделиD модель как правило деE
монстрировала переходной процесс к состоянию равновесияD возмущаемому
воздействием второй системыD либо к периодическому колебательному реE
жимуF При этом сам тип демонстрируемого моделью в автономной динамике
режима не важенD она может даже не иметь аттрактора вовсеD поскольку ваE
жен только одношаговый прогнозD обеспечиваемый переходным процессомF
Важная роль переходных процессов при реконструкции моделей по временE
ным рядам уже подчјркивалась ранее ‘SIDSP“F В то же время в данном случае
они выполняют несколько иную функциюX если в цитируемых работах пеE
реходные процессы выступали в качестве источника информации о системеD
то при применении метода причинности по Грейнджеру переходной процесс
уже реконструированной модели используется для предсказания поведения
наблюдаемого хаотического режимаF
Основные результаты первой главы изложены в работах ‘SQ!ST“F

QW



Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет