Д. мамфорд, Д. Райт, К. Сирис



Pdf көрінісі
Дата09.03.2019
өлшемі191.66 Kb.

Я

зык симметрии

Д.МАМФОРД,  Д.РАЙТ,  К.СИРИС

Вскипятите его, остудите во льду

И немножко припудрите мелом,

Но одно безусловно имейте в виду:

Не нарушить симметрию в целом!

Льюис Кэрролл. Охота на Снарка

(пер. Г.Кружкова)

Д

ЛЯ МАТЕМАТИКА ПОНЯТИЕ СИММЕТРИИ ИМЕ-



ет  гораздо  более  широкий  смысл,  нежели  тот,

который мы используем в повседневной жизни.

Одним из первых, кто пришел к этому более глубокому

пониманию симметрии, был выдающийся и очень вли-

ятельный немецкий математик Феликс Клейн. В 1872

году,  в  докладе  по  случаю  вступления  в  должность

профессора Эрлангенского университета (в необычай-

но  молодом  возрасте  всего  23

лет)  Клейн  предложил  матема-

тическому сообществу радикаль-

но  расширить  общепринятый

взгляд  на  симметрию  и  считать

симметричными  объекты,  кото-

рые прежде никто не подумал бы

так называть. Процитированные

выше  строки  Льюиса  Кэрролла

(настоящее имя которого – Чарльз

Доджсон), математика, препода-

вателя  оксфордского  колледжа

Крайст-Чёрч,  были  написаны

всего четырьмя годами позже. Не

исключено, что Доджсон был на-

слышан об идеях Клейна и имен-

но о них думал, сочиняя эту неле-

пицу.

В  написанной  по  материалам



этого доклада вошедшей в исто-

рию  короткой  статье

1

  молодой



Клейн подвел итог более чем пя-

тидесятилетнего  развития  мате-

матики,  выдвинув  новые  идеи,

коренным  образом  изменившие

ее дальнейшее развитие. Сегодня

трудно  оценить  в  полной  мере

значимость сказанного Клейном,

потому что его лекция привела к

смене  парадигмы,  которая  задним  числом  кажется

совершенно очевидной, и трудно даже поверить, что

раньше кто-то мог думать иначе.

Коротко  говоря,  Клейн  предложил  рассматривать

геометрию как «изучение свойств пространства, инва-

риантных относительно данной группы преобразова-

ний».  При  изучении  геометрии,  утверждал  Клейн,

нужно рассматривать не только объекты (треугольни-

ки,  окружности,  икосаэдры  или  же  фигуры  гораздо

более дикого вида – как, например, фрактал на первой

странице обложки), но и перемещения. При классичес-

ком евклидовом взгляде на геометрию, господствовав-

шем на протяжении более чем двух тысячелетий, под

перемещениями всегда понимались только движения

Феликс Христиан Клейн (1849–1925)

Феликс Клейн родился в Дюссельдорфе, принадлежа-

щем  в  то  время  Прусской  империи,  в  1849  году.  Он

изучал математику и физику в Боннском университете.

Работу  над  диссертацией  Клейн  начал,  намереваясь

стать  физиком,  однако  под  влиянием  своего  научного

руководителя Плюккера он увлекся геометрией. Плюк-

кер умер в 1868 году, в том же году, когда Клейн получил

докторскую  степень;  естественно,  что  именно  Клейну

выпало завершать работу своего руководителя. Этим он

обратил на себя внимание Клебша, одного из ведущих

профессоров Гёттингенского университета. Вскоре Клебш

убедился,  что  Клейн  имеет  все  шансы  стать  ведущим

математиком своего времени.

В 1872 году Клейн получил приглашение на должность профессора Эрлангенского

университета  в  Баварии,  и  последующие  10  лет  были  для  него  периодом  расцвета

творческой  активности.  В  1875  году  он  перешел  в  Высшую  техническую  школу  в

Мюнхене,  где  нашел  много  талантливых  студентов,  и  его  педагогический  талант

раскрылся в полной мере. В том же году он женился на Анне Гегель, внучке знаменитого

философа.  В  1880  году  Клейн  перебрался  в  Лейпциг,  где  в  то  время  кипела

математическая жизнь. Здесь он создал ту глубокую теорию, которой посвящена эта

книга. Но здесь же из-за сильного напряжения, вызванного острым соперничеством с

блестящим молодым французским математиком Пуанкаре, резко ухудшилось его и без

того слабое здоровье. В 1883–1884 годах Клейн страдал от постоянных депрессий, и

впоследствии он так и не смог полностью восстановить свой математический потенциал.

Та его работа, которая относится к предмету нашей книги, была существенно развита

в двух трактатах, написанных совместно с Робертом Фрике в период с 1890 по 1912 год.

В 1886 году Клейн занял кафедру в Гёттингене, где и работал до выхода в отставку.

Он был не только выдающимся математиком, но обладал и значительными организа-

ционными  и  административными  способностями.  Именно  благодаря  его  таланту  и

энергии была создана знаменитая гёттингенская математическая школа, которая была

ведущим мировым математическим центром, пока в 1930-е годы ее не разрушил Гитлер.

Распространению  идей  и  влияния  Клейна  во  всем  мире  во  многом  способствовали

учившиеся  у  него  иностранцы.  Среди  его  учеников  –  американцы  Фрэнк  Коул  и

Уильям Осгуд, итальянцы Луиджи Бьянки  и Грегорио Риччи-Курбастро, а также одни

из  первых  женщин-математиков  Мэри  Ньюсон  и  Грейс  Чизхолм  Янг.  На  рубеже

столетий  Клейн  активно  заинтересовался  вопросами  преподавания  математики  и

содействовал введению в школьную программу основ математического анализа. Он

вышел  в  отставку  по  состоянию  здоровья  в  1913  году  и  скончался  в  Гёттингене  в

возрасте 76 лет.

Глава из книги «Ожерелье Индры.

Видение  Феликса  Клейна».  –  М.:

МЦНМО, 2011. Печатается в сокра-

щении.


1  Опубликованной под высокоуче-

ным названием «Сравнительное обо-

зрение  новейших  геометрических  ис-

следований»,  но  известной  ныне  как

«Эрлангенская программа».


твердого тела: можно взять фи-

гуру и поместить ее идентичную

копию в новое место. Радикаль-

ная идея Клейна состояла в том,

что и другие перемещения, кото-

рые могут существенно растяги-

вать  или  скручивать  объекты,

также следует считать геометри-

ческими. При таком подходе гео-

метрия  охватывает  гораздо  бо-

лее широкий класс задач, чем в

классическом  понимании.  Гео-

метры должны изучать те свой-

ства  объектов,  которые  сохра-

няются  при  перемещениях,  –

как  нам  изящно  советует  Кэр-

ролл в своем четверостишии.

Круг идей, занимавших Клей-

на, связан с двумя понятиями:

это идея подобных или симмет-

ричных объектов и идея «преоб-

разования» или «перемещения».

Клейн соединил их вместе, ис-

пользуя понятие группы, разра-

ботанное пятьюдесятью годами

ранее другим исключительно мо-

лодым математиком Эваристом

Галуа. За время своей короткой

карьеры,  в  период  с  1829  по

1831  год,  Галуа  осознал,  что

корни  многочлена  можно  изу-

чать при помощи их «симметрий»; так, например, 

2

+

и 



2

 можно рассматривать как симметричные реше-



ния уравнения 

2

2



0

x −


=

. Идеи Галуа были совершен-

но недоступны пониманию современников, и его работа

едва не оказалась потерянной навсегда.

2

 Клейн понял,



что не стоит пытаться каталогизировать все возможные

типы  симметрий  и  выставлять  их  напоказ,  как  это

делали средневековые мусульманские строители Аль-

гамбры. Понятие группы дает очень простой и в то же

время  необычайно  мощный  математический  инстру-

мент для описания симметрий всех возможных типов.

Идея группы состоит в том, чтобы описывать прави-

ла, отвечающие за повторяемость, присущую симмет-

рии. Например, если какой-то шаг можно сделать один

раз, то его же можно сделать еще раз, и еще, и еще. Это

может вернуть вас обратно в то же самое положение, с

которого вы начинали (как в случае зеркала, когда два

отражения возвращают в исходное состояние), а может

привести к возникновению расширяющейся мозаики из

объектов, покрывающих регулярным узором все боль-

шую и большую площадь, наподобие плиток, устилаю-

щих огромный пол.

Коротко  говоря,  обычно  симметрия  понимается  в

терминах рисунков и пропорций как трудноопредели-

мое свойство некой сбалансированности и правильно-

сти.

3

 Со времен Клейна в распоряжении математиков



имеется  более  точное  определение:  симметрия  –  это

баланс,  создаваемый  повторением  многих  движений

одного  и  того  же  вида,  а  именно  всех  движений  из

некоторой группы. Эти две идеи – введение в геомет-

рию  групповых  соображений  и  расширение  класса

изучаемых движений – и легли в основу собственных

исследований Клейна. Именно эти сюжеты он объеди-

нил в своей знаменитой Эрлангенской программе.

Значительная  часть  последующей  работы  Клейна

была связана с выявлением и изучением одного конк-

ретного нового типа симметрии, о котором и пойдет

речь в книге «Ожерелье Индры». Однако прежде чем

исследовать эти новые миры, давайте потратим немно-

го времени и взглянем на хорошо знакомые евклидовы

симметрии с новой клейновской точки зрения.

Таксономия симметрии

На рисунке 1 приведена часть спутникового снимка

сельскохозяйственного штата Айова, а рядом с ней –

идеализированное  изображение  той  же  местности  с

доведенной до совершенства симметрией. Простираю-

щийся насколько хватает глаз ландшафт выглядит как

правильный  узор,  составленный  из  отдельных  ферм

величиной в одну квадратную милю, каждая из кото-

Роберт Фрике (1861–1930)

Роберт  Фрике  родился  в  Хельмштедте,  Германия.

Некоторое время он учился и преподавал в Гёттингене, а

в 1885 году закончил Лейпцигский университет, написав

диссертацию под руководством Клейна. Его сотрудниче-

ство  с  Клейном  началось  с  публикации  двух  томов  их

первого совместного труда «Лекции по теории эллипти-

ческих модулярных функций», вышедших в 1890 и 1892

годах. В этот период Фрике преподавал в двух гимназиях

Брауншвейга, а также, что более любопытно, был настав-

ником двух сыновей прусского принца-регента Альбрех-

та. Он защитил диссертацию, дающую право на занятие

профессорской должности («Habilitation»), в Киле и с

1892 года работал приват-доцентом в Гёттингене. В 1894

году Фрике занял место ушедшего в отставку Дедекинда

в университете Кароло-Вильгельмина в Брауншвейге, а

его давние дружеские отношения с Клейном упрочились,

когда в том же году он женился на племяннице Клейна

Элеоноре Флендер.

Фрике пользовался большим авторитетом и как математик, и как человек. В тесном

сотрудничестве  с  Клейном  они  создали  большую  часть  теории,  известной  ныне  как

теория клейновых групп, которой и посвящена наша книга. Фрике играл важнейшую

роль в управлении университетом, являясь его ректором в период с 1904 по 1906 год, а

также  с  1921  по  1923  год.  Он  принимал  участие  в  работе  над  государственной

образовательной  программой  (здесь  очень  пригодился  его  опыт  работы  школьным

учителем)  и  занимал  несколько  официальных  постов.  Этим  обилием  обязанностей

объясняется длинный промежуток между выходом первого и второго тома (в 1897 и 1912

году соответственно) второго совместного с Клейном труда «Лекции по теории автомор-

фных функций», фактическим автором которого был именно Фрике, хотя Клейн также

внес свой немалый вклад. В последнем томе Фрике использовал новейшие достижения

математики, такие как канторовская теория множеств и теория размерности Брауэра,

для решения ряда ранее не поддававшихся задач. Он работал в Брауншвейге до самого

конца жизни.

2 История Галуа – одна из самых романтических в истории

математики; подробнее об этом будет рассказано во второй

части статьи, которая будет опубликована позже.

3  В  словаре  Чемберса  находим:  «Точное  соответствие

частей  по  обе  стороны  от  прямой  или  плоскости,  либо  же

относительно центра или оси; баланс или верная пропорция;

красота формы; расположение частей».

Я З Ы К   С И М М Е Т Р И И



рых содержит один дом, один пруд и одно дерево. Этот

мир настолько симметричен, что, проехав одну милю

на север, юг, запад или восток, вы окажетесь в точке,

вид из которой неотличим от того, который вы наблю-

дали ранее.

Математика, изучающего симметрию, интересуют не

подробности  наблюдаемой  картины  –  пасется  ли  на

каждом поле одна овца или две коровы, – а движения,

которые необходимо совершить, чтобы добиться повто-

ра.  Такое  движение  легко  осуществить  с  помощью

компьютера:  нарисуйте  цветок,  а  затем  скопируйте

изображение  в  другое  место  страницы.  При  этом

можно думать, что вы переместили цветок, а можно –

и именно эту точку зрения предпочитают математики –

считать, что вы взяли всю страницу целиком и положи-

ли ее обратно таким образом, что цветок оказался на

новом месте. Стало быть, движение цветка может быть

реализовано  определенным  движением  всей  плоско-

сти. На рисунке 2 показаны два цветка, перемещающи-

еся  под  действием  параллельного  переноса.  Сами

цветки  совершенно  не  похожи,  но  с  точки  зрения

математика  оба  рисунка  обладают  одной  и  той  же

трансляционной симметрией

.

Симметрия  создается  при  помощи  многократного



повторения,  или  итерирования,  одного  и  того  же

движения. Рисунок или объект симметричен относи-

тельно движения, если при этом движении отдельные

точки  перемещаются,  но  весь  рисунок  или  объект  в

целом  остается  без  изменений.  Простейшим  типом

симметрии  обладает  форма,  которая  повторяет  себя

бесконечно,  каждый  раз  сдвигаясь  на  одно  и  то  же

фиксированное расстояние в одном и том же фиксиро-

ванном направлении. Хороший пример такого рода –

прямое железнодорожное полотно через плоскую пре-

рию,  тянущееся  от  горизонта  до  горизонта,

как  на



рисунке 3. Мысленно сдвиньте все полотно вперед так,

чтобы каждая шпала переместилась на место следую-

щей. Это движение называется параллельным перено-

сом


  или  сдвигом:  величина  сдвига  есть  расстояние

между  шпалами,  а  его  направление  –  направление

полотна. После параллельного переноса полотно выг-

лядит в точности так же, как и раньше, но на самом деле

каждая шпала сдвинулась вперед и заняла место сле-

дующей за ней. Заметьте, что мы опять имеем дело с

двумя разными вещами: абстрактным движением (па-

раллельным переносом) и физическим объектом (же-

лезнодорожным полотном). Говоря, что объект облада-

ет трансляционной симметрией, мы имеем в виду, что

при физическом перемещении этого объекта в новое

положение  отдельные  его  части  сдвигаются,  но  вид

всего объекта в целом не изменяется.

Архитекторы с блеском применяют трансляционную

симметрию.  Повторяющаяся  структура  может  созда-

вать превосходный зрительный эффект, как видно на

примере фриза, изображенного на рисунке 3.

Морская  звезда  на  рисунке  4  –  хороший  пример

вращательной 

симметрии. У звезды 12 лучей, поэтому

при повороте на 

360 : 12


30

°

=



°

 относительно центра

каждый луч повернется, но сама звезда будет выгля-

деть в точности так же, как и раньше.

Третий тип симметрии – это зеркальная симметрия,

или симметрия относительно отражения. Такой сим-

метрией обладает наше тело, что демонстрирует знаме-

Рис.1.  Спутниковый  снимок  штата  Айова  слева  не  сильно  отличается  от  его  идеализированной  версии

справа. Обратите внимание на коричневые тропинки, пересекающие каждую ферму в направлении c севера

на юг, и на зеленые тропинки в направлении с востока на запад

Рис.2. Два ряда цветов, полученные с помощью одного и того

же  параллельного  переноса.  Сами  цветки  совершенно  не

похожи, но оба ряда обладают одинаковой симметрией

4  В  Англии  железнодорожные  пути  обычно  не  настолько

длинные и прямые.


нитый рисунок Леонардо да Винчи (см. рис.4). Вооб-

разите вертикальную плоскость или зеркало, разделя-

ющее правую и левую половину стоящего человека, и

представьте себе, что каждый атом с левой стороны от

зеркала перемещается в точку, которая находится на

том же горизонтальном уровне и на том же расстоянии

от зеркала, только справа, и наоборот. Портретисты

возразят, что левая сторона лица отражает иные грани

нашей  личности,  нежели  правая,  а  врачей  озадачит

нестандартное положение печени и толстой кишки, но

в  целом  можно  сказать,  что  тело  не  изменилось.

Большинство  транспортных  средств  –  автомобили,

лодки, велосипеды, самолеты – обладают почти иде-

альной  зеркальной  симметрией,  особенно  снаружи.

Может быть, подсознательно мы создаем их по своему

подобию.


Эти  три  типа  симметрии  в  разных  проявлениях

нередко  можно  увидеть  в  одной  и  той  же  фигуре.

Например, посмотрим на соты, изображенные на ри-

сунке 5. Читатель должен без труда распознать здесь

следующие симметрии:

Рис.3. Два проявления трансляционной симметрии: желез-

нодорожный путь через прерию и фриз из древнего мекси-

канского города Оахака

Рис.4. Слева: морская звезда обладает вращательной симметрией. Данная звезда имеет 12 лучей, поэтому она симметрична

относительно поворотов на 360° : 12 = 30° . Справа: знаменитый рисунок Леонардо да Винчи, демонстрирующий пропорции

мужской фигуры; рисунок обладает почти идеальной зеркальной симметрией

Я З Ы К   С И М М Е Т Р И И

Рис.5.  Соты  –  прекрасный  пример  объекта,  обладающего

множественными симметриями всех трех типов



i

трансляционные симметрии в каждом из трех раз-

личных направлений,

i

вращательная  симметрия  на 



120°

  относительно

точек, где сходятся три ячейки,

i

вращательная симметрия на 



60°

 относительно цен-

тра каждой ячейки,

i

зеркальная симметрия относительно ребер между



двумя соседними ячейками,

i

зеркальная  симметрия  относительно  прямых,  со-



единяющих середины двух противоположных сторон.

Без сомнения, читатель найдет здесь и другие, более

сложные симметрии, но все они получаются комбина-

циями симметрий, перечисленных выше. Как это дела-

ется строго математически, мы выясним ниже.

Прежде чем закончить с основными видами симмет-

рий, мы хотели бы представить вам доктора Стрелки-

на,  давнего  коллегу  авторов,  который  будет  вашим

надежным гидом по страницам этой книги. Его портрет

вы  видите  на  левом  верхнем  фрагменте  рисункеа  6;

остальные  фрагменты  этого  рисунка  демонстрируют

перемещения доктора Стрелкина под действием транс-

ляционной,  зеркальной  и  вращательной  симметрии

плоскости.  Сейчас  доктор  ведет  себя  относительно

солидно, но по мере расширения наших представлений

о  симметрии  и  изучения  новых  видов  движений  он

будет двигаться все более экзотическим образом.

Как  мы  видели,  есть  два  способа  рассуждать  о

симметрии. С одной стороны, можно указать на сим-

метричные объекты и сказать, что они служат приме-

рами трансляционной, вращательной или зеркальной

симметрии.  Однако  другой,  более  глубокий  подход

состоит в том, чтобы абстрагироваться от рисунка и

изучать лежащие в его основе движения сами по себе.

Первый способ привлекателен тем, что дает нам нечто

осязаемое и видимое; но второй подход более фунда-

ментален, так как абстракция не содержит ненужных

подробностей и позволяет сосредоточиться на симмет-

рии как таковой.

Преобразования плоскости

В предыдущем разделе мы говорили о симметриях

как о «перемещениях» или «движениях» плоскости.

Математики,  которые  стремятся  к  исключительной

точности  языка  даже  больше,  чем  юристы,  обычно

используют несколько более широкое понятие преоб-

разования

; общеупотребительным синонимом преоб-

разования является отображение. Как часто бывает в

математике, эти обычные слова используются в специ-

альном и очень точном смысле. Объясним подробно,

что  они  означают.  В  максимально  широком  смысле

преобразование 

плоскости – это правило, сопоставля-

ющее  каждой  точке  P  плоскости  новую  точку  Q.

Например,  правило  может  иметь  вид  «новая  точка

находится  на  3  дюйма  левее  старой»  или  «новое

положение точки получается поворотом на 

90°


 относи-

тельно центра O». Точка Q, в которую мы попадаем,

следуя правилу, называется образом

5

 исходной точки



P.  Можно  придумать  огромное  количество  разных

правил, однако мы будем рассматривать только те из

них, действие которых обратимо. Например, эффект

от применения правила «сдвинуть все точки на 3 дюйма

влево» можно обратить с помощью правила «сдвинуть

все точки на 3 дюйма вправо» (рис. 7).

Практичнее подход, состоящий в том, чтобы рассмат-

ривать  преобразование  как  процедуру  физического

перемещения точек плоскости. При этом относитель-

ное положение точек может сильно исказиться, но все

фигуры и объекты, находящиеся на плоскости, вовле-

каются  в  движение  и  перемещаются  одновременно.

Подобное  искажение  можно  наблюдать  на  примере

классической скульптуры Паолины, см. левый фраг-

Рис.6. В левом верхнем углу – портрет доктора Стрелкина;

остальные  три  рисунка  показывают,  как  он  движется  под

действием параллельного переноса, отражения и поворота

соответственно

Рис.7. На доктора Стрелкина  действует преобразование T,

которое сдвигает его на 3 дюйма влево. На втором рисунке

видно, как на доктора действует обратное преобразование

T

–1



, сдвигающее его обратно на 3 дюйма вправо

5 Математики склонны давать специальные названия все-

му, о чем они говорят. И не только для солидности: так хирург

раскладывает  инструменты  перед  операцией  и  проверяет,

что ассистенты знают их правильные названия, ибо он должен

быть уверен, что в случае необходимости ему дадут именно

то, что нужно.


мент  рисунка  8.  Хотя  на  правом  фрагменте  форма

Паолины радикально изменилась, отдельные ее черты

по-прежнему хорошо различимы. Чтобы получить пра-

вый рисунок, мы применили правило, предписываю-

щее,  как  именно  следует  перемещать  каждую  точку

левого рисунка в ее новое положение. Это преобразо-

вание существенно изменило форму Паолины, сохра-

нив все ее характерные черты.

Чтобы продолжить обсуждение и при этом избежать

многословия, к которому мы вынуждены были прибе-

гать выше, необходимо ввести обозначения. Обычно

мы используем буквы S и T для обозначения преобра-

зований, а буквами P и Q, следуя Евклиду, обозначаем

точки  плоскости.  Как  и  большинство  математиков,

через 

( )


T P

 мы обозначаем образ точки P под действи-

ем преобразования T; таким образом, 

( )


T P

 есть «но-

вая точка, полученная применением правила T к точке

P». Например, правило преобразования может быть

таким:

( )


T P  есть точка, находящаяся на 3 дюйма левее P.

Нередко мы будем говорить о преобразовании в актив-

ном залоге: «T отображает P в 

( )


T P ».

Правило, которое обращает эффект, произведенный

преобразованием T, называется обратным к T и обо-

значается 

1

T



. Так, например, обращением правила

( )


T P

 есть точка, находящаяся на 3 дюйма левее P,

является правило

( )


T P

 есть точка, находящаяся на 3 дюйма правее P.

Часто нас будет интересовать действие правила или

преобразования  T  на  целую  конфигурацию  точек,

скажем, окружность C или пару параллельных пря-

мых L и M. Обозначение 

( )

T C


 – это удобное сокраще-

ние  для  «множества  всех  таких  точек 

( )

T P


,  что  P

лежит в C». Иными словами, 

( )

T C  есть образ множе-



ства C под действием преобразования T.

До сих пор мы не уточняли, что именно понимается

под «плоскостью». Каждый, кто изучал работы Евкли-

да (или читал прекрасную старую книгу о Флатлан-

дии

6

), скорее всего, имеет некоторое представление об



этом  идеализированном  двумерном  мире,  но  иногда

проще оперировать формулами, чем словами, которые

часто грешат неточностью. Как вы, несомненно, учили

в школе, стандартные декартовы координаты позволя-

ют задавать точки «плоскости» с помощью двух чисел

x и y; для этого нужно выбрать

i

начало координат, которым может служить любая



точка;

i

две перпендикулярные прямые, проходящие через



начало координат, которые называются осью x (или

горизонтальной  осью)  и  осью  y  (или  вертикальной

осью)

7

.



Любая точка P на плоскости представляется двумя

числами x и y, которые задают расстояния от нее до

координатных осей; обычно эти числа записывают в

виде пары 

(

)

,



x y

. Расстояние x от точки P до верти-

кальной  оси  считается  положительным,  если  точка

находится справа от нее, и отрицательным, если слева;

расстояние y от точки P до горизонтальной оси счита-

ется положительным, если точка находится выше нее,

и отрицательным, если ниже.

Открытие Декарта состояло в том, что алгебра – это

мощное средство для изучения геометрии. Вместо слов

«сдвиньте все точки на 3 дюйма влево» можно сказать

«сдвиньте  точку  с  координатами 

(

)



,

x y   в  точку  с

координатами 

(

)



3,

x

y



». Уменьшение x на 3 переме-

щает точку на 3 единицы (в данном случае, 3 дюйма)

влево, а тот факт, что y не изменяется, означает, что

точка  остается  на  той  же  горизонтальной  прямой.

Таким образом, преобразование T, заданное правилом

( )

T P


 есть точка, находящаяся на 3 дюйма левее P,

записывается в сжатом виде формулой

(

) (


)

,

3,



T x y

x

y



=

.



Желая показать динамику преобразования, мы иног-

да пишем


(

)

(



)

:

,



3,

T

x y



x

y



֏

;

эта запись читается так: «преобразование T отображает



точку 

(

)



,

x y


 в точку 

(

)



3,

x

y



».

Рис.8.  Действие  сильно  искажающего  преобразования  на



скульптуру  Паолины.  На  левом  верхнем  фрагменте  мы

видим изящную греческую фигуру, а на правом – результат

применения  отображения,  превратившего  ее  в  ужасную

карикатуру. Решетки внизу иллюстрируют примененное пра-

вило. Следя за тем, что происходит в каждом квадратике,

можно  выяснить,  как  преобразование  действует  на  все

точки плоскости. Грубо говоря, правило состоит в следую-

щем:  нужно  повернуть  область,  ограниченную  некоторой

окружностью, на 45

°

 по часовой стрелке, а затем сгладить



полученный  эффект,  поворачивая  точки,  лежащие  внутри

расширяющихся концентрических колец, на все меньший и

меньший угол, вплоть до самой внешней окружности, вне

которой все точки остаются неподвижными

6 Э.Эбботт. «Флатландия». – М.:Мир, 1976.

7 Или осями абсцисс и ординат. (Прим. перев.)

Я З Ы К   С И М М Е Т Р И И


Трансляционные, вращательные и зеркальные сим-

метрии  –  примеры  преобразований  плоскости.  Так,

параллельный перенос всегда можно записать форму-

лой


(

) (


)

,

,



T x y

x

a y b



=

+

+



.

Эта запись означает, что каждая точка 

(

)

,



x y

 плос-


кости сдвигается на a единиц вправо (или влево, если

a отрицательно) и b единиц вверх (или вниз, если b

отрицательно). Отражение относительно оси y задает-

ся правилом

(

) (


)

,

,



T x y

x y


= −

.

Эта формула означает, что каждая точка остается на



той же горизонтали, но при этом точка, лежащая на

расстоянии x от оси y, переходит в точку, лежащую на

том же расстоянии от оси, но по другую сторону.

Формула, задающая поворот, немного сложнее. На

рисунке 9 показано, как вывести формулу для поворо-

та на 


90°

 против часовой стрелки относительно начала

координат  O.  В  этом  случае  правило  имеет  вид

(

) (



)

,

,



T x y

y x


= −

.

Формулы  для  трех  основных  типов  симметрий  в



декартовых  координатах  приведены  ниже.  Если  эти

формулы  вам  незнакомы,  рекомендуем  вывести  их

самостоятельно, следуя указаниям упражнения 2.

Вооружившись новым языком, мы готовы придать

точный смысл понятию, которое мы называли «движе-

нием  плоскости».  А  именно,  это  преобразование,  не

меняющее ни относительные положения объектов, ни

их размеры, так что, в частности, любые две точки P и

Q всегда находятся на том же расстоянии друг от друга,

что  и  их  образы 

( )

T P


  и 

( )


T Q .  Кроме  того,  угол

PQR


 равен углу 

( ) ( ) ( )

T P T Q T R

 (рис.10), обра-



зованному их образами. Любое движение плоскости,

обладающее этими свойствами, является либо парал-

лельным переносом, либо поворотом, либо отражени-

ем, либо же отражением относительно прямой с после-

дующим сдвигом вдоль этой прямой. Преобразование

четвертого типа, называемое скользящей симметрией,

можно увидеть на фризе, изображенном на рисунке 3.

8

Композиция, или Как получить много



преобразований из нескольких

Вернемся к составленному из шестиугольников узору

сот (см. рис.5), известному также в своем более проза-

ическом воплощении как узор плиток на полу обще-

ственной уборной. Как мы видели, симметрии – это

такие движения или преобразования узора или фигуры,

которые, перемещая отдельные точки, оставляют весь

узор  в  целом  без  изменений.  В  нашем  случае  это

преобразования, обладающие следующим очень специ-

альным свойством: они сдвигают весь пол целиком и

вновь совмещают его с собой таким образом, что каждая

плитка оказывается на месте какой-то другой плитки.

Рассматривая пол, подвергнутый такому преобразова-

нию,  вы  не  заметите  никаких  изменений.  Иными

словами,  симметрия  пола  –  это  преобразование  T,

которое перемещает каждую плитку U на место какой-

то другой плитки V; на языке формул 

( )


T U

V

=



.

9

 Это



означает, что каждая точка плитки U под действием

преобразования T переходит в точку, принадлежащую

ее образу V. Мы не исключаем возможности, что U =

= V, т.е. плитка U как единое целое остается на своем

месте, хотя, возможно, поворачивается или отражается

так,  что  некоторые  или  все  ее  точки  меняют  свое

положение. Так будет, например, если сделать поворот

на 


60°

 относительно центра одной из плиток. Коротко

мы говорим, что «преобразование T сохраняет, или

Рис.9. Для задания любой точки плоскости можно использо-

вать декартовы координаты. На этом рисунке видно, как угол

с  вершиной  в  точке  (2,1)  поворачивается  на 

°

90   под


действием отображения 

(

)



(

)

T x, y = –y, x  и оказывается в



точке (–1,2)

Формулы для трех основных типов симметрий

Здесь приведены общие формулы для трех основ-

ных типов симметрий.

1.  Параллельный  перенос  T,  который  сдвигает

точку на a единиц вправо и b единиц вверх:

(

) (


)

,

,



T x y

x

a y b



=

+

+



.

2. Поворот R на угол 

θ

 против часовой стрелки



относительно начала координат:

(

) (



)

,

cos



sin , sin

cos


R x y

x

y



x

y

=



θ −

θ

θ +



θ

.

3. Симметрия S относительно вертикальной оси y:



(

) (


)

,

,



S x y

x y


= −

.

Рис.10



8  На  самом  деле  свойство  сохранения  углов  следует  из

свойства сохранения расстояний. Чтобы убедиться в этом,

вспомните,  что  углы  треугольника  определяются  длинами

трех его сторон.

9  Здесь  мы  игнорируем  проблемы,  связанные  с  наличием

стен,  и  предполагаем,  что  плиточный  узор  простирается

сколь угодно далеко во всех направлениях.


оставляет инвариантным

, плиточный узор». Итак, мы

придали точный математический смысл утверждению,

что  T  является  симметрией  замощенного  плитками

пола.

Теперь рассмотрим новую операцию над преобразо-



ваниями. Мы хотим, начав с двух преобразований S и

T плоскости, составить новое правило, задающее тре-

тье преобразование. Это новое преобразование называ-

ют композицией S и T и символически записывают в

виде произведения: ST. Правило, задающее ST, очень

просто:


сначала применить T, а затем S.

Иными словами, оно состоит в следующем. Возьмем

точку P. Применяя правило, задающее преобразование

T,  получим  точку 

( )

T P


,  в  которую  T  переводит  P.

Теперь применим правило, задающее преобразование

S, к образу 

( )


T P . Мы получим точку, в которую S

переводит 

( )

T P


, т.е. 

( )


(

)

S T P



. Это и есть правило,

задающее  преобразование  ST.  В  символьной  записи

имеем

( )


( )

(

)



ST P

S T P


=

.

Обратите  особое  внимание  на  порядок,  который



здесь  очень  важен.  Хотя  символы  читаются  слева

направо, правило ST означает, что надо

сначала применить T, а затем S.

Если вы хотите произвести операции в другом поряд-

ке, т.е.

сначала применить S, а затем T,

то вам следует применить композицию TS.

Композиция преобразований подобна кулинарному

рецепту: каждый шаг, описанный в рецепте, предписы-

вает произвести определенные преобразования с набо-

ром ингредиентов, а весь рецепт в целом есть не что

иное как композиция всех этих преобразований. При

этом, как и в рецепте, порядок имеет значение. Взбить

яичные белки и подмешать к ним сливки – совсем не то

же  самое,  что  сначала  подмешать  сливки  к  яичным

белкам, а затем попытаться взбить полученную массу.

В тех случаях, когда на самом деле порядок не важен,

говорят, что преобразования коммутируют.

Предположим, что мы начинаем с преобразований S

и T, которые являются симметриями шестиугольного

плиточного узора. Пусть U – некоторая плитка. По-

скольку T – симметрия, каждая точка плитки U под

действием преобразования T переходит в точку, при-

надлежащую некоторой другой плитке V. Поскольку S

– симметрия, точки плитки V под действием преобра-

зования S переходят в точки некоторой третьей плитки

W. Соединяя все вместе, мы видим, что преобразова-

ние ST переводит точки плитки U в точки плитки W.

Отсюда мы заключаем, что ST – симметрия, поскольку

она тоже сохраняет плиточный узор.

Проверим  это  в  нескольких  простых  случаях.  В

примере на левом фрагменте рисунка 11 оба преобра-

зования S и T – сдвиги. На рисунке красными стрел-

ками обозначено действие горизонтального сдвига T,

который перемещает каждый шестиугольник на место

его  правого  соседа,  а  оранжевыми  стрелками  –  дей-

ствие диагонального сдвига S, который сдвигает каж-

дый шестиугольник по диагонали на один ряд вверх и

полпозиции  вправо.  Чтобы  выяснить,  как  действует

композиция  ST,  мы  выбрали  зеленую  плитку  U  и

покрасили  плитку 

( )


T U

  в  розовый  цвет.  Затем  мы

нашли плитку 

( )


(

)

S T U



 – она расположена на один

ряд выше и полпозиции правее 

( )

T U


. Можно прове-

рить, что, начав с любой другой плитки и проделав те

же  действия,  мы  получим  тот  же  эффект.  Иными

словами,  композиция  ST  есть  сдвиг,  обозначенный

Рис.11. Слева: красными стрелками обозначен горизонтальный сдвиг T на одну позицию вправо, а оранжевыми – сдвиг S на

одну позицию вверх по диагонали. Зеленая стрелка соответствует композиции ST, которая в этом случае совпадает с TS. Справа

показаны два отражения: отражение M относительно зеленого зеркала и отражение N относительно желтого зеркала. Следя

за тем, что происходит с одной плиткой (например, U), можно заметить, что композиция MN действует как поворот на  120

°

по часовой стрелке относительно точки пересечения зеркал, а композиция NM неожиданно оказывается поворотом против



часовой стрелки

Я З Ы К   С И М М Е Т Р И И



зеленой стрелкой. Если бы мы строили композицию

TS, которая переводит U сначала в 

( )

S U


, а затем в

( )


(

)

T S U



, мы получили бы ровно тот же результат.

Отсюда можно заключить, что в этом случае ST = TS.

На первый взгляд, все просто, но иногда результат

композиции оказывается неожиданным. На рисунке 12

преобразование T – тот же сдвиг, что и ранее. Но на сей

раз  в  качестве  второго  преобразования  рассмотрим

поворот R на 

60°


 против часовой стрелки относительно

центра плитки F. Удивительным образом, композиция

RT в этом случае также является поворотом на 

60°


,

только  относительно  центра  другой  плитки  V.  На

рисунке мы проследили за судьбой плитки U, которую

подвергли сначала преобразованию T, а затем – преоб-

разованию R. На левом фрагменте видно также, что

плитка V под действием преобразования T сдвигается

на одну позицию вправо, а затем под действием преоб-

разования  R  возвращается  в  исходное  положение.

Попробуйте убедиться в том, что мы вас не обманыва-

ем, проследив за судьбой еще нескольких плиток под

действием композиции RT.

Было бы интересно вывести общие правила, описы-

вающие  композицию  ST  двух  симметрий  S  и  T,  но

соответствующие рассуждения слишком длинны, что-

бы  приводить  их  здесь.  Несколько  примеров  для

изучения предложены в упражнении 1.

Упражнения

1. 


Строим композиции с помощью рисунка.

а) Вновь разберите пример, изображенный на рисунке 12

слева. На этот раз примените сначала отображение R, а затем

T.  Убедитесь,  что  TR  –  тоже  поворот.  Где  находится  его

центр?

б) Используя ту же базовую решетку из шестиугольников,



проследите  за  действием  отражений  N  и  M  относительно

двух зеркал, изображенных на рис.11. Проверьте утвержде-

ния  про  композиции  NM  и  MN,  сформулированные  в

подписи к рисунку.

2.

 Формула для поворота. Мы хотим убедиться в справед-



ливости формулы для поворота R на угол  θ  против часовой

стрелки относительно начала координат:

(

) (


)

,

cos



sin , sin

cos


R x y

x

y



x

y

=



θ −

θ

θ +



θ

.

В качестве простой проверки подставьте 



90

θ =


°

 и получи-

те уже упоминавшееся правило 

(

)



(

)

,



,

x y


y x

֏



 для этого

поворота  (рис.  9).  Существует  много  способов  проверить

истинность общей формулы. Вот один из них:

Шаг 1. Проверьте, что формула правильно предсказывает

судьбу точки 

(

)



1, 0

. (Нарисуйте диаграмму!)

Шаг 2. Сделайте то же самое для точки 

(

)



0, 1 .

Рис.12. На левом фрагменте красными стрелками обозначен сдвиг T, а оранжевыми – поворот R. Проследив за судьбой зеленой

плитки U сначала под действием TR, а затем под действием RT, мы видим, что на сей раз полученные плитки 

( )


(

)

T R U



 и

( )


(

)

R T U



 различны, откуда заключаем, что TR не совпадает с RT. Глядя на правый фрагмент, вы можете убедиться, что RT –

это поворот на 60

°

относительно центра другой плитки V!



Рис.13. Наглядное объяснение, почему поворот R – линейное

отображение.  Он  переводит  вершины  v   и  w   голубого

параллелограмма в вершины 

( )


R v  и 

( )


R w  розового па-

раллелограмма.  Точка  v   +  w –  это  вершина  голубого

параллелограмма,  противоположная  центру  поворота  0;

аналогично, 

( )

R v  + 


( )

R w  – это дальняя вершина розового

параллелограмма. С другой стороны, поскольку R переводит

голубой параллелограмм в розовый, дальняя розовая вер-

шина должна совпадать с 

(

)



R v

w

+



.

Шаг 3. Докажите, что если 

v  – вектор, отложенный от

начала координат, то 

( )


( )

R tv


tR v

=

 для любого веществен-



ного числа t.

Шаг 4. Докажите, что если v  и w  – векторы, отложенные

от начала координат, то

(

)



( )

( )


R v

w

R v



R w

+

=



+

.

Шаг 5. Объедините результаты, полученные в шагах 1–4,



и выведите из них искомую формулу.

На первых двух шагах мы проследили за тем, что проис-

ходит с двумя базисными векторами 

(

)



1, 0  и 

(

)



0, 1 . Результат

шага 3 говорит нам, что точка, лежащая на расстоянии t от

начала координат в направлении вектора  v , под действием

отображения  R  переходит  в  точку,  лежащую  на  том  же

расстоянии t от начала координат в направлении повернуто-

го  вектора 

( )

R v ,  а  результат  шага  4  –  что  диагональ



параллелограмма со сторонами, идущими вдоль векторов v

и w , переходит в диагональ параллелограмма со сторонами,

идущими  вдоль  векторов 

( )


R v   и 

( )


R w .  Эти  два  факта

означают, что поворот R есть линейное отображение, т.е. R

переводит прямые в прямые. Шаг 4 наглядно проиллюстри-

рован на рисунке 13.



(Окончание следует)



Достарыңызбен бөлісу:


©stom.tilimen.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет